解決{l}{x+y/2+x-y/3=-6}{2(x+y)-3x+3y=24} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y } { 2 } + \frac { x - y } { 3 } = - 6 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{102}{13} = -7\frac{11}{13} \approx -7.846153846$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=-36$$

計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=-36$$

計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2x-2y=-36$$

合併 3x 和 2x 以取得 5x。

$$5x+3y-2y=-36$$

合併 3y 和 -2y 以取得 y。

$$5x+y=-36$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-3x+3y=24$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x+2y+3y=24$$

合併 2y 和 3y 以取得 5y。

$$-x+5y=24$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+y=-36,-x+5y=24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+y=-36$$

從方程式兩邊減去 y。

$$5x=-y-36$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-36\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -y-36。

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{36}{5}$$

在另一個方程式 -x+5y=24 中以 \frac{-y-36}{5} 代入 x在方程式。

$$-\left(-\frac{1}{5}y-\frac{36}{5}\right)+5y=24$$

-1 乘上 \frac{-y-36}{5}。

$$\frac{1}{5}y+\frac{36}{5}+5y=24$$

將 \frac{y}{5} 加到 5y。

$$\frac{26}{5}y+\frac{36}{5}=24$$

從方程式兩邊減去 \frac{36}{5}。

$$\frac{26}{5}y=\frac{84}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{26}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{42}{13}$$

在 x=-\frac{1}{5}y-\frac{36}{5} 中以 \frac{42}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{42}{13}-\frac{36}{5}$$

-\frac{1}{5} 乘上 \frac{42}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{42}{65}-\frac{36}{5}$$

將 -\frac{36}{5} 與 -\frac{42}{65} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{102}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{102}{13},y=\frac{42}{13}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=-36$$

計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=-36$$

計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2x-2y=-36$$

合併 3x 和 2x 以取得 5x。

$$5x+3y-2y=-36$$

合併 3y 和 -2y 以取得 y。

$$5x+y=-36$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-3x+3y=24$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x+2y+3y=24$$

合併 2y 和 3y 以取得 5y。

$$-x+5y=24$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+y=-36,-x+5y=24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-1\right)}&-\frac{1}{5\times 5-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-1\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}&-\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{26}\left(-36\right)-\frac{1}{26}\times 24\\\frac{1}{26}\left(-36\right)+\frac{5}{26}\times 24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{102}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{102}{13},y=\frac{42}{13}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。

$$3\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=-36$$

計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=-36$$

計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+2x-2y=-36$$

合併 3x 和 2x 以取得 5x。

$$5x+3y-2y=-36$$

合併 3y 和 -2y 以取得 y。

$$5x+y=-36$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y-3x+3y=24$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x+2y+3y=24$$

合併 2y 和 3y 以取得 5y。

$$-x+5y=24$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+y=-36,-x+5y=24$$

讓 5x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-5x-y=-\left(-36\right),5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\times 24$$

化簡。

$$-5x-y=36,-5x+25y=120$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -5x-y=36 減去 -5x+25y=120。

$$-5x+5x-y-25y=36-120$$

將 -5x 加到 5x。 -5x 和 5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y-25y=36-120$$

將 -y 加到 -25y。

$$-26y=36-120$$

將 36 加到 -120。

$$-26y=-84$$

將兩邊同時除以 -26。

$$y=\frac{42}{13}$$

在 -x+5y=24 中以 \frac{42}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+5\times \frac{42}{13}=24$$

5 乘上 \frac{42}{13}。

$$-x+\frac{210}{13}=24$$

從方程式兩邊減去 \frac{210}{13}。

$$-x=\frac{102}{13}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\frac{102}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{102}{13},y=\frac{42}{13}$$