\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.
解 x、y
x=0
y=-2
圖表
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x+y+2-3y=6
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 3。
x-2y+2=6
合併 y 和 -3y 以取得 -2y。
x-2y=6-2
從兩邊減去 2。
x-2y=4
從 6 減去 2 會得到 4。
3x+2\times 2y=6x-8
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。
3x+4y=6x-8
將 2 乘上 2 得到 4。
3x+4y-6x=-8
從兩邊減去 6x。
-3x+4y=-8
合併 3x 和 -6x 以取得 -3x。
x-2y=4,-3x+4y=-8
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x-2y=4
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=2y+4
將 2y 加到方程式的兩邊。
-3\left(2y+4\right)+4y=-8
在另一個方程式 -3x+4y=-8 中以 4+2y 代入 x在方程式。
-6y-12+4y=-8
-3 乘上 4+2y。
-2y-12=-8
將 -6y 加到 4y。
-2y=4
將 12 加到方程式的兩邊。
y=-2
將兩邊同時除以 -2。
x=2\left(-2\right)+4
在 x=2y+4 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-4+4
2 乘上 -2。
x=0
將 4 加到 -4。
x=0,y=-2
現已成功解出系統。
x+y+2-3y=6
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 3。
x-2y+2=6
合併 y 和 -3y 以取得 -2y。
x-2y=6-2
從兩邊減去 2。
x-2y=4
從 6 減去 2 會得到 4。
3x+2\times 2y=6x-8
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。
3x+4y=6x-8
將 2 乘上 2 得到 4。
3x+4y-6x=-8
從兩邊減去 6x。
-3x+4y=-8
合併 3x 和 -6x 以取得 -3x。
x-2y=4,-3x+4y=-8
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)
計算。
x=0,y=-2
解出矩陣元素 x 和 y。
x+y+2-3y=6
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 3。
x-2y+2=6
合併 y 和 -3y 以取得 -2y。
x-2y=6-2
從兩邊減去 2。
x-2y=4
從 6 減去 2 會得到 4。
3x+2\times 2y=6x-8
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。
3x+4y=6x-8
將 2 乘上 2 得到 4。
3x+4y-6x=-8
從兩邊減去 6x。
-3x+4y=-8
合併 3x 和 -6x 以取得 -3x。
x-2y=4,-3x+4y=-8
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8
讓 x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
-3x+6y=-12,-3x+4y=-8
化簡。
-3x+3x+6y-4y=-12+8
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3x+6y=-12 減去 -3x+4y=-8。
6y-4y=-12+8
將 -3x 加到 3x。 -3x 和 3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
2y=-12+8
將 6y 加到 -4y。
2y=-4
將 -12 加到 8。
y=-2
將兩邊同時除以 2。
-3x+4\left(-2\right)=-8
在 -3x+4y=-8 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-3x-8=-8
4 乘上 -2。
-3x=0
將 8 加到方程式的兩邊。
x=0
將兩邊同時除以 -3。
x=0,y=-2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}