\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 3 y } { 3 } = \frac { y + 1 } { 2 } + \frac { 3 x } { 4 } } \\ { \frac { 3 x + 5 y } { 5 } = \frac { x + 4 } { 2 } - \frac { x + y + 9 } { 10 } } \end{array} \right.
解 x、y
x=0
y=1
圖表
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4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,2,4 的最小公倍數。
4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x
計算 4 乘上 x+3y 時使用乘法分配律。
4x+12y=6y+6+3\times 3x
計算 6 乘上 y+1 時使用乘法分配律。
4x+12y=6y+6+9x
將 3 乘上 3 得到 9。
4x+12y-6y=6+9x
從兩邊減去 6y。
4x+6y=6+9x
合併 12y 和 -6y 以取得 6y。
4x+6y-9x=6
從兩邊減去 9x。
-5x+6y=6
合併 4x 和 -9x 以取得 -5x。
2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,2,10 的最小公倍數。
6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
計算 2 乘上 3x+5y 時使用乘法分配律。
6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)
計算 5 乘上 x+4 時使用乘法分配律。
6x+10y=5x+20-x-y-9
若要尋找 x+y+9 的相反數，請尋找每項的相反數。
6x+10y=4x+20-y-9
合併 5x 和 -x 以取得 4x。
6x+10y=4x+11-y
從 20 減去 9 會得到 11。
6x+10y-4x=11-y
從兩邊減去 4x。
2x+10y=11-y
合併 6x 和 -4x 以取得 2x。
2x+10y+y=11
新增 y 至兩側。
2x+11y=11
合併 10y 和 y 以取得 11y。
-5x+6y=6,2x+11y=11
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
-5x+6y=6
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
-5x=-6y+6
從方程式兩邊減去 6y。
x=-\frac{1}{5}\left(-6y+6\right)
將兩邊同時除以 -5。
x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}
-\frac{1}{5} 乘上 -6y+6。
2\left(\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}\right)+11y=11
在另一個方程式 2x+11y=11 中以 \frac{-6+6y}{5} 代入 x在方程式。
\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+11y=11
2 乘上 \frac{-6+6y}{5}。
\frac{67}{5}y-\frac{12}{5}=11
將 \frac{12y}{5} 加到 11y。
\frac{67}{5}y=\frac{67}{5}
將 \frac{12}{5} 加到方程式的兩邊。
y=1
對方程式的兩邊同時除以 \frac{67}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{6-6}{5}
在 x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=0
將 -\frac{6}{5} 與 \frac{6}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=0,y=1
現已成功解出系統。
4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,2,4 的最小公倍數。
4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x
計算 4 乘上 x+3y 時使用乘法分配律。
4x+12y=6y+6+3\times 3x
計算 6 乘上 y+1 時使用乘法分配律。
4x+12y=6y+6+9x
將 3 乘上 3 得到 9。
4x+12y-6y=6+9x
從兩邊減去 6y。
4x+6y=6+9x
合併 12y 和 -6y 以取得 6y。
4x+6y-9x=6
從兩邊減去 9x。
-5x+6y=6
合併 4x 和 -9x 以取得 -5x。
2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,2,10 的最小公倍數。
6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
計算 2 乘上 3x+5y 時使用乘法分配律。
6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)
計算 5 乘上 x+4 時使用乘法分配律。
6x+10y=5x+20-x-y-9
若要尋找 x+y+9 的相反數，請尋找每項的相反數。
6x+10y=4x+20-y-9
合併 5x 和 -x 以取得 4x。
6x+10y=4x+11-y
從 20 減去 9 會得到 11。
6x+10y-4x=11-y
從兩邊減去 4x。
2x+10y=11-y
合併 6x 和 -4x 以取得 2x。
2x+10y+y=11
新增 y 至兩側。
2x+11y=11
合併 10y 和 y 以取得 11y。
-5x+6y=6,2x+11y=11
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{6}{-5\times 11-6\times 2}\\-\frac{2}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{5}{-5\times 11-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}&\frac{6}{67}\\\frac{2}{67}&\frac{5}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}\times 6+\frac{6}{67}\times 11\\\frac{2}{67}\times 6+\frac{5}{67}\times 11\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)
計算。
x=0,y=1
解出矩陣元素 x 和 y。
4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 3,2,4 的最小公倍數。
4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x
計算 4 乘上 x+3y 時使用乘法分配律。
4x+12y=6y+6+3\times 3x
計算 6 乘上 y+1 時使用乘法分配律。
4x+12y=6y+6+9x
將 3 乘上 3 得到 9。
4x+12y-6y=6+9x
從兩邊減去 6y。
4x+6y=6+9x
合併 12y 和 -6y 以取得 6y。
4x+6y-9x=6
從兩邊減去 9x。
-5x+6y=6
合併 4x 和 -9x 以取得 -5x。
2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 10，這是 5,2,10 的最小公倍數。
6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
計算 2 乘上 3x+5y 時使用乘法分配律。
6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)
計算 5 乘上 x+4 時使用乘法分配律。
6x+10y=5x+20-x-y-9
若要尋找 x+y+9 的相反數，請尋找每項的相反數。
6x+10y=4x+20-y-9
合併 5x 和 -x 以取得 4x。
6x+10y=4x+11-y
從 20 減去 9 會得到 11。
6x+10y-4x=11-y
從兩邊減去 4x。
2x+10y=11-y
合併 6x 和 -4x 以取得 2x。
2x+10y+y=11
新增 y 至兩側。
2x+11y=11
合併 10y 和 y 以取得 11y。
-5x+6y=6,2x+11y=11
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\left(-5\right)x+2\times 6y=2\times 6,-5\times 2x-5\times 11y=-5\times 11
讓 -5x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5。
-10x+12y=12,-10x-55y=-55
化簡。
-10x+10x+12y+55y=12+55
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -10x+12y=12 減去 -10x-55y=-55。
12y+55y=12+55
將 -10x 加到 10x。 -10x 和 10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
67y=12+55
將 12y 加到 55y。
67y=67
將 12 加到 55。
y=1
將兩邊同時除以 67。
2x+11=11
在 2x+11y=11 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x=0
從方程式兩邊減去 11。
x=0
將兩邊同時除以 2。
x=0,y=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}