\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.
解 x、y
x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333
y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667
圖表
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y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)
考慮第一個方程式。 變數 y 不能等於 -5,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 y\left(y+5\right)，這是 y+5,y 的最小公倍數。
yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)
計算 y 乘上 x+2 時使用乘法分配律。
yx+2y=yx+7y+5x+35
計算 y+5 乘上 x+7 時使用乘法分配律。
yx+2y-yx=7y+5x+35
從兩邊減去 yx。
2y=7y+5x+35
合併 yx 和 -yx 以取得 0。
2y-7y=5x+35
從兩邊減去 7y。
-5y=5x+35
合併 2y 和 -7y 以取得 -5y。
y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)
將兩邊同時除以 -5。
y=-x-7
-\frac{1}{5} 乘上 35+5x。
-4\left(-x-7\right)+2x=-1
在另一個方程式 -4y+2x=-1 中以 -x-7 代入 y在方程式。
4x+28+2x=-1
-4 乘上 -x-7。
6x+28=-1
將 4x 加到 2x。
6x=-29
從方程式兩邊減去 28。
x=-\frac{29}{6}
將兩邊同時除以 6。
y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7
在 y=-x-7 中以 -\frac{29}{6} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y=\frac{29}{6}-7
-1 乘上 -\frac{29}{6}。
y=-\frac{13}{6}
將 -7 加到 \frac{29}{6}。
y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}
現已成功解出系統。
y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)
考慮第一個方程式。 變數 y 不能等於 -5,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 y\left(y+5\right)，這是 y+5,y 的最小公倍數。
yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)
計算 y 乘上 x+2 時使用乘法分配律。
yx+2y=yx+7y+5x+35
計算 y+5 乘上 x+7 時使用乘法分配律。
yx+2y-yx=7y+5x+35
從兩邊減去 yx。
2y=7y+5x+35
合併 yx 和 -yx 以取得 0。
2y-7y=5x+35
從兩邊減去 7y。
-5y=5x+35
合併 2y 和 -7y 以取得 -5y。
-5y-5x=35
從兩邊減去 5x。
-5y-5x=35,-4y+2x=-1
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)
計算。
y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}
解出矩陣元素 y 和 x。
y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)
考慮第一個方程式。 變數 y 不能等於 -5,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 y\left(y+5\right)，這是 y+5,y 的最小公倍數。
yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)
計算 y 乘上 x+2 時使用乘法分配律。
yx+2y=yx+7y+5x+35
計算 y+5 乘上 x+7 時使用乘法分配律。
yx+2y-yx=7y+5x+35
從兩邊減去 yx。
2y=7y+5x+35
合併 yx 和 -yx 以取得 0。
2y-7y=5x+35
從兩邊減去 7y。
-5y=5x+35
合併 2y 和 -7y 以取得 -5y。
-5y-5x=35
從兩邊減去 5x。
-5y-5x=35,-4y+2x=-1
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)
讓 -5y 和 -4y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5。
20y+20x=-140,20y-10x=5
化簡。
20y-20y+20x+10x=-140-5
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20y+20x=-140 減去 20y-10x=5。
20x+10x=-140-5
將 20y 加到 -20y。 20y 和 -20y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
30x=-140-5
將 20x 加到 10x。
30x=-145
將 -140 加到 -5。
x=-\frac{29}{6}
將兩邊同時除以 30。
-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1
在 -4y+2x=-1 中以 -\frac{29}{6} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
-4y-\frac{29}{3}=-1
2 乘上 -\frac{29}{6}。
-4y=\frac{26}{3}
將 \frac{29}{3} 加到方程式的兩邊。
y=-\frac{13}{6}
將兩邊同時除以 -4。
y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}