\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { 3 } + \frac { y - 1 } { 2 } = 2 } \\ { \frac { 2 x - 1 } { 3 } + \frac { 1 - y } { 2 } = 1 } \end{array} \right.
解 x、y
x=3
y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333
圖表
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\frac{1}{3}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2,\frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{1}{3}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2
\frac{1}{3} 乘上 x+1。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=2
\frac{1}{2} 乘上 y-1。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}=2
將 \frac{1}{3} 與 -\frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{13}{6}
將 \frac{1}{6} 加到方程式的兩邊。
\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{6}
從方程式兩邊減去 \frac{y}{2}。
x=3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{6}\right)
將兩邊同時乘上 3。
x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}
3 乘上 -\frac{y}{2}+\frac{13}{6}。
\frac{1}{3}\left(2\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1
在另一個方程式 \frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1 中以 \frac{-3y+13}{2} 代入 x在方程式。
\frac{1}{3}\left(-3y+13-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1
2 乘上 \frac{-3y+13}{2}。
\frac{1}{3}\left(-3y+12\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1
將 13 加到 -1。
-y+4+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1
\frac{1}{3} 乘上 -3y+12。
-y+4-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=1
\frac{1}{2} 乘上 -y+1。
-\frac{3}{2}y+4+\frac{1}{2}=1
將 -y 加到 -\frac{y}{2}。
-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}=1
將 4 加到 \frac{1}{2}。
-\frac{3}{2}y=-\frac{7}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。
y=\frac{7}{3}
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{13}{2}
在 x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2} 中以 \frac{7}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-7+13}{2}
-\frac{3}{2} 乘上 \frac{7}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
x=3
將 \frac{13}{2} 與 -\frac{7}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=3,y=\frac{7}{3}
現已成功解出系統。
\frac{1}{3}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2,\frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\frac{1}{3}\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2
化簡第一個方程式，使其成為標準式。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y-1\right)=2
\frac{1}{3} 乘上 x+1。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=2
\frac{1}{2} 乘上 y-1。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}=2
將 \frac{1}{3} 與 -\frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{13}{6}
將 \frac{1}{6} 加到方程式的兩邊。
\frac{1}{3}\left(2x-1\right)+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1
化簡第二個方程式，使其成為標準式。
\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(-y+1\right)=1
\frac{1}{3} 乘上 2x-1。
\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=1
\frac{1}{2} 乘上 -y+1。
\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=1
將 -\frac{1}{3} 與 \frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}y=\frac{5}{6}
從方程式兩邊減去 \frac{1}{6}。
\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{4}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13+5}{6}\\\frac{4}{3}\times \frac{13}{6}-\frac{2}{3}\times \frac{5}{6}\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=\frac{7}{3}
解出矩陣元素 x 和 y。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}