\left\{ \begin{array} { l } { \frac { a } { 4 } - b \ln \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } = 1 + \ln 2 } \\ { a - 2 b = 0 } \end{array} \right.
解 a、b
a=2
b=1
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4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4，這是 4,2 的最小公倍數。
4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2
從兩邊減去 2。
4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)
從 4 減去 2 會得到 2。
16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)
對方程式兩邊同時乘上 4。
64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)
對方程式兩邊同時乘上 4。
64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)
計算 64 乘上 \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) 時使用乘法分配律。
16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)
在 64 和 4 中同時消去最大公因數 4。
16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。
16a=\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32
從方程式兩邊減去 64\ln(2)b。
a=\frac{1}{16}\left(\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32\right)
將兩邊同時除以 16。
a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2
\frac{1}{16} 乘上 -64\ln(2)b+32+64\ln(2)。
\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2-2b=0
在另一個方程式 a-2b=0 中以 -4\ln(2)b+2+4\ln(2) 代入 a在方程式。
\left(-4\ln(2)-2\right)b+4\ln(2)+2=0
將 -4\ln(2)b 加到 -2b。
\left(-4\ln(2)-2\right)b=-4\ln(2)-2
從方程式兩邊減去 2+4\ln(2)。
b=1
將兩邊同時除以 -4\ln(2)-2。
a=-4\ln(2)+4\ln(2)+2
在 a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2 中以 1 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。
a=2
將 2+4\ln(2) 加到 -4\ln(2)。
a=2,b=1
現已成功解出系統。
4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4，這是 4,2 的最小公倍數。
4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2
從兩邊減去 2。
4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)
從 4 減去 2 會得到 2。
16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)
對方程式兩邊同時乘上 4。
64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)
對方程式兩邊同時乘上 4。
64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)
計算 64 乘上 \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) 時使用乘法分配律。
16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)
在 64 和 4 中同時消去最大公因數 4。
16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&-\frac{64\ln(2)}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\\-\frac{1}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&\frac{16}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}&\frac{2\ln(2)}{2\ln(2)+1}\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}&-\frac{1}{2\left(2\ln(2)+1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)
計算。
a=2,b=1
解出矩陣元素 a 和 b。
4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 4，這是 4,2 的最小公倍數。
4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2
從兩邊減去 2。
4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)
從 4 減去 2 會得到 2。
16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)
對方程式兩邊同時乘上 4。
64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)
對方程式兩邊同時乘上 4。
64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)
計算 64 乘上 \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) 時使用乘法分配律。
16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)
在 64 和 4 中同時消去最大公因數 4。
16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a+16\left(-2\right)b=0
讓 16a 和 a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 16。
16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a-32b=0
化簡。
16a-16a+64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32 減去 16a-32b=0。
64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32
將 16a 加到 -16a。 16a 和 -16a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
\left(64\ln(2)+32\right)b=64\ln(2)+32
將 64\ln(2)b 加到 32b。
b=1
將兩邊同時除以 32+64\ln(2)。
a-2=0
在 a-2b=0 中以 1 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。
a=2
將 2 加到方程式的兩邊。
a=2,b=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}