解決{l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 40，這是 4,10,8 的最小公倍數。

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

將 10 乘上 5 得到 50。

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

計算 50 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

將 -4 乘上 3 得到 -12。

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

計算 -12 乘上 2y+1 時使用乘法分配律。

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

從 -150 減去 12 會得到 -162。

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

計算 -7 乘上 x+y+1 時使用乘法分配律。

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

從 4 減去 7 會得到 -3。

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

計算 5 乘上 -3-7x-7y 時使用乘法分配律。

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

新增 35x 至兩側。

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

合併 50x 和 35x 以取得 85x。

$$85x-162-24y=-15-35y$$

新增 35y 至兩側。

$$85x-162-24y+35y=-15$$

合併 -24y 和 35y 以取得 11y。

$$85x-162+11y=-15$$

新增 162 至兩側。

$$85x+11y=-15+162$$

將 -15 與 162 相加可以得到 147。

$$85x+11y=147$$

考慮第二個方程式。 計算 -5 乘上 2y-7 時使用乘法分配律。

$$6x-10y+35=21$$

從兩邊減去 35。

$$6x-10y=21-35$$

從 21 減去 35 會得到 -14。

$$6x-10y=-14$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$85x+11y=147$$

從方程式兩邊減去 11y。

$$85x=-11y+147$$

將兩邊同時除以 85。

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

\frac{1}{85} 乘上 -11y+147。

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

在另一個方程式 6x-10y=-14 中以 \frac{-11y+147}{85} 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

6 乘上 \frac{-11y+147}{85}。

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

將 -\frac{66y}{85} 加到 -10y。

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

從方程式兩邊減去 \frac{882}{85}。

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{916}{85}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{518}{229}$$

在 x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85} 中以 \frac{518}{229} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

-\frac{11}{85} 乘上 \frac{518}{229} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

將 \frac{147}{85} 與 -\frac{5698}{19465} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{329}{229}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 40，這是 4,10,8 的最小公倍數。

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

將 10 乘上 5 得到 50。

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

計算 50 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

將 -4 乘上 3 得到 -12。

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

計算 -12 乘上 2y+1 時使用乘法分配律。

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

從 -150 減去 12 會得到 -162。

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

計算 -7 乘上 x+y+1 時使用乘法分配律。

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

從 4 減去 7 會得到 -3。

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

計算 5 乘上 -3-7x-7y 時使用乘法分配律。

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

新增 35x 至兩側。

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

合併 50x 和 35x 以取得 85x。

$$85x-162-24y=-15-35y$$

新增 35y 至兩側。

$$85x-162-24y+35y=-15$$

合併 -24y 和 35y 以取得 11y。

$$85x-162+11y=-15$$

新增 162 至兩側。

$$85x+11y=-15+162$$

將 -15 與 162 相加可以得到 147。

$$85x+11y=147$$

考慮第二個方程式。 計算 -5 乘上 2y-7 時使用乘法分配律。

$$6x-10y+35=21$$

從兩邊減去 35。

$$6x-10y=21-35$$

從 21 減去 35 會得到 -14。

$$6x-10y=-14$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 40，這是 4,10,8 的最小公倍數。

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

將 10 乘上 5 得到 50。

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

計算 50 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

將 -4 乘上 3 得到 -12。

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

計算 -12 乘上 2y+1 時使用乘法分配律。

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

從 -150 減去 12 會得到 -162。

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

計算 -7 乘上 x+y+1 時使用乘法分配律。

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

從 4 減去 7 會得到 -3。

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

計算 5 乘上 -3-7x-7y 時使用乘法分配律。

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

新增 35x 至兩側。

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

合併 50x 和 35x 以取得 85x。

$$85x-162-24y=-15-35y$$

新增 35y 至兩側。

$$85x-162-24y+35y=-15$$

合併 -24y 和 35y 以取得 11y。

$$85x-162+11y=-15$$

新增 162 至兩側。

$$85x+11y=-15+162$$

將 -15 與 162 相加可以得到 147。

$$85x+11y=147$$

考慮第二個方程式。 計算 -5 乘上 2y-7 時使用乘法分配律。

$$6x-10y+35=21$$

從兩邊減去 35。

$$6x-10y=21-35$$

從 21 減去 35 會得到 -14。

$$6x-10y=-14$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

讓 85x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 85。

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

化簡。

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 510x+66y=882 減去 510x-850y=-1190。

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

將 510x 加到 -510x。 510x 和 -510x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$66y+850y=882+1190$$

將 66y 加到 850y。

$$916y=882+1190$$

將 882 加到 1190。

$$916y=2072$$

將兩邊同時除以 916。

$$y=\frac{518}{229}$$

在 6x-10y=-14 中以 \frac{518}{229} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

-10 乘上 \frac{518}{229}。

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

將 \frac{5180}{229} 加到方程式的兩邊。

$$6x=\frac{1974}{229}$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{329}{229}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$