\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.
解 x, y
x=3
y=1
圖表
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3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,6 的最小公倍數。
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
計算 3 乘上 3x-7 時使用乘法分配律。
9x-21-4y-2=0
計算 -2 乘上 2y+1 時使用乘法分配律。
9x-23-4y=0
從 -21 減去 2 會得到 -23。
9x-4y=23
新增 23 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 5,3 的最小公倍數。
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
計算 3 乘上 x+2 時使用乘法分配律。
3x+6-25y-20=-30
計算 -5 乘上 5y+4 時使用乘法分配律。
3x-14-25y=-30
從 6 減去 20 會得到 -14。
3x-25y=-30+14
新增 14 至兩側。
3x-25y=-16
將 -30 與 14 相加可以得到 -16。
9x-4y=23,3x-25y=-16
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
9x-4y=23
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
9x=4y+23
將 4y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)
將兩邊同時除以 9。
x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}
\frac{1}{9} 乘上 4y+23。
3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16
在另一個方程式 3x-25y=-16 中以 \frac{4y+23}{9} 代入 x在方程式。
\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16
3 乘上 \frac{4y+23}{9}。
-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16
將 \frac{4y}{3} 加到 -25y。
-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{23}{3}。
y=1
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{71}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{4+23}{9}
在 x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=3
將 \frac{23}{9} 與 \frac{4}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=3,y=1
現已成功解出系統。
3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,6 的最小公倍數。
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
計算 3 乘上 3x-7 時使用乘法分配律。
9x-21-4y-2=0
計算 -2 乘上 2y+1 時使用乘法分配律。
9x-23-4y=0
從 -21 減去 2 會得到 -23。
9x-4y=23
新增 23 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 5,3 的最小公倍數。
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
計算 3 乘上 x+2 時使用乘法分配律。
3x+6-25y-20=-30
計算 -5 乘上 5y+4 時使用乘法分配律。
3x-14-25y=-30
從 6 減去 20 會得到 -14。
3x-25y=-30+14
新增 14 至兩側。
3x-25y=-16
將 -30 與 14 相加可以得到 -16。
9x-4y=23,3x-25y=-16
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=1
解出矩陣元素 x 和 y。
3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,6 的最小公倍數。
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
計算 3 乘上 3x-7 時使用乘法分配律。
9x-21-4y-2=0
計算 -2 乘上 2y+1 時使用乘法分配律。
9x-23-4y=0
從 -21 減去 2 會得到 -23。
9x-4y=23
新增 23 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 15，這是 5,3 的最小公倍數。
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
計算 3 乘上 x+2 時使用乘法分配律。
3x+6-25y-20=-30
計算 -5 乘上 5y+4 時使用乘法分配律。
3x-14-25y=-30
從 6 減去 20 會得到 -14。
3x-25y=-30+14
新增 14 至兩側。
3x-25y=-16
將 -30 與 14 相加可以得到 -16。
9x-4y=23,3x-25y=-16
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)
讓 9x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。
27x-12y=69,27x-225y=-144
化簡。
27x-27x-12y+225y=69+144
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 27x-12y=69 減去 27x-225y=-144。
-12y+225y=69+144
將 27x 加到 -27x。 27x 和 -27x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
213y=69+144
將 -12y 加到 225y。
213y=213
將 69 加到 144。
y=1
將兩邊同時除以 213。
3x-25=-16
在 3x-25y=-16 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
3x=9
將 25 加到方程式的兩邊。
x=3
將兩邊同時除以 3。
x=3,y=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}