\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.
解 x, y
x=1
y=1
圖表
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3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。
9x-3-2\left(4y-7\right)=12
計算 3 乘上 3x-1 時使用乘法分配律。
9x-3-8y+14=12
計算 -2 乘上 4y-7 時使用乘法分配律。
9x+11-8y=12
將 -3 與 14 相加可以得到 11。
9x-8y=12-11
從兩邊減去 11。
9x-8y=1
從 12 減去 11 會得到 1。
3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,6,12 的最小公倍數。
9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
計算 3 乘上 3y-6 時使用乘法分配律。
9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)
計算 -2 乘上 5-x 時使用乘法分配律。
9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)
從 -18 減去 10 會得到 -28。
9y-28+2x=-\left(12+5\right)
將 1 乘上 12 得到 12。
9y-28+2x=-17
將 12 與 5 相加可以得到 17。
9y+2x=-17+28
新增 28 至兩側。
9y+2x=11
將 -17 與 28 相加可以得到 11。
9x-8y=1,2x+9y=11
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
9x-8y=1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
9x=8y+1
將 8y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)
將兩邊同時除以 9。
x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}
\frac{1}{9} 乘上 8y+1。
2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11
在另一個方程式 2x+9y=11 中以 \frac{8y+1}{9} 代入 x在方程式。
\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11
2 乘上 \frac{8y+1}{9}。
\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11
將 \frac{16y}{9} 加到 9y。
\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}
從方程式兩邊減去 \frac{2}{9}。
y=1
對方程式的兩邊同時除以 \frac{97}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{8+1}{9}
在 x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=1
將 \frac{1}{9} 與 \frac{8}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=1,y=1
現已成功解出系統。
3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。
9x-3-2\left(4y-7\right)=12
計算 3 乘上 3x-1 時使用乘法分配律。
9x-3-8y+14=12
計算 -2 乘上 4y-7 時使用乘法分配律。
9x+11-8y=12
將 -3 與 14 相加可以得到 11。
9x-8y=12-11
從兩邊減去 11。
9x-8y=1
從 12 減去 11 會得到 1。
3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,6,12 的最小公倍數。
9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
計算 3 乘上 3y-6 時使用乘法分配律。
9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)
計算 -2 乘上 5-x 時使用乘法分配律。
9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)
從 -18 減去 10 會得到 -28。
9y-28+2x=-\left(12+5\right)
將 1 乘上 12 得到 12。
9y-28+2x=-17
將 12 與 5 相加可以得到 17。
9y+2x=-17+28
新增 28 至兩側。
9y+2x=11
將 -17 與 28 相加可以得到 11。
9x-8y=1,2x+9y=11
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)
計算。
x=1,y=1
解出矩陣元素 x 和 y。
3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12
考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 6，這是 2,3 的最小公倍數。
9x-3-2\left(4y-7\right)=12
計算 3 乘上 3x-1 時使用乘法分配律。
9x-3-8y+14=12
計算 -2 乘上 4y-7 時使用乘法分配律。
9x+11-8y=12
將 -3 與 14 相加可以得到 11。
9x-8y=12-11
從兩邊減去 11。
9x-8y=1
從 12 減去 11 會得到 1。
3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 12，這是 4,6,12 的最小公倍數。
9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)
計算 3 乘上 3y-6 時使用乘法分配律。
9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)
計算 -2 乘上 5-x 時使用乘法分配律。
9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)
從 -18 減去 10 會得到 -28。
9y-28+2x=-\left(12+5\right)
將 1 乘上 12 得到 12。
9y-28+2x=-17
將 12 與 5 相加可以得到 17。
9y+2x=-17+28
新增 28 至兩側。
9y+2x=11
將 -17 與 28 相加可以得到 11。
9x-8y=1,2x+9y=11
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11
讓 9x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 9。
18x-16y=2,18x+81y=99
化簡。
18x-18x-16y-81y=2-99
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x-16y=2 減去 18x+81y=99。
-16y-81y=2-99
將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-97y=2-99
將 -16y 加到 -81y。
-97y=-97
將 2 加到 -99。
y=1
將兩邊同時除以 -97。
2x+9=11
在 2x+9y=11 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x=2
從方程式兩邊減去 9。
x=1
將兩邊同時除以 2。
x=1,y=1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}