\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } x - 2 y = 10 } \\ { 3 x - \frac { 3 } { 2 } y = 36 } \end{array} \right.
解 x, y
x=10
y=-4
圖表
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\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
\frac{1}{5}x-2y=10
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
\frac{1}{5}x=2y+10
將 2y 加到方程式的兩邊。
x=5\left(2y+10\right)
將兩邊同時乘上 5。
x=10y+50
5 乘上 10+2y。
3\left(10y+50\right)-\frac{3}{2}y=36
在另一個方程式 3x-\frac{3}{2}y=36 中以 50+10y 代入 x在方程式。
30y+150-\frac{3}{2}y=36
3 乘上 50+10y。
\frac{57}{2}y+150=36
將 30y 加到 -\frac{3y}{2}。
\frac{57}{2}y=-114
從方程式兩邊減去 150。
y=-4
對方程式的兩邊同時除以 \frac{57}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=10\left(-4\right)+50
在 x=10y+50 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-40+50
10 乘上 -4。
x=10
將 50 加到 -40。
x=10,y=-4
現已成功解出系統。
\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}&\frac{20}{57}\\-\frac{10}{19}&\frac{2}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}\times 10+\frac{20}{57}\times 36\\-\frac{10}{19}\times 10+\frac{2}{57}\times 36\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)
計算。
x=10,y=-4
解出矩陣元素 x 和 y。
\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times \frac{1}{5}x+3\left(-2\right)y=3\times 10,\frac{1}{5}\times 3x+\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)y=\frac{1}{5}\times 36
讓 \frac{x}{5} 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{5}。
\frac{3}{5}x-6y=30,\frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5}
化簡。
\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{3}{5}x-6y=30 減去 \frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5}。
-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}
將 \frac{3x}{5} 加到 -\frac{3x}{5}。 \frac{3x}{5} 和 -\frac{3x}{5} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{57}{10}y=30-\frac{36}{5}
將 -6y 加到 \frac{3y}{10}。
-\frac{57}{10}y=\frac{114}{5}
將 30 加到 -\frac{36}{5}。
y=-4
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{57}{10}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
3x-\frac{3}{2}\left(-4\right)=36
在 3x-\frac{3}{2}y=36 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
3x+6=36
-\frac{3}{2} 乘上 -4。
3x=30
從方程式兩邊減去 6。
x=10
將兩邊同時除以 3。
x=10,y=-4
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}