解決{c}{x-4y=-13}{6x+4y=6} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 4 y = - 13 } \\ { 6 x + 4 y = 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-4y=-13$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$x=4y-13$$

在另一個方程式 6x+4y=6 中以 4y-13 代入 x在方程式。

$$6\left(4y-13\right)+4y=6$$

6 乘上 4y-13。

$$24y-78+4y=6$$

將 24y 加到 4y。

$$28y-78=6$$

將 78 加到方程式的兩邊。

$$28y=84$$

將兩邊同時除以 28。

$$y=3$$

在 x=4y-13 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=4\times 3-13$$

4 乘上 3。

$$x=12-13$$

將 -13 加到 12。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{4-\left(-4\times 6\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&\frac{1}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-13\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{3}{14}\left(-13\right)+\frac{1}{28}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-4y=-13,6x+4y=6$$

讓 x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$6x+6\left(-4\right)y=6\left(-13\right),6x+4y=6$$

化簡。

$$6x-24y=-78,6x+4y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-24y=-78 減去 6x+4y=6。

$$6x-6x-24y-4y=-78-6$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-24y-4y=-78-6$$

將 -24y 加到 -4y。

$$-28y=-78-6$$

將 -78 加到 -6。

$$-28y=-84$$

將兩邊同時除以 -28。

$$y=3$$

在 6x+4y=6 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x+4\times 3=6$$

4 乘上 3。

$$6x+12=6$$

從方程式兩邊減去 12。

$$6x=-6$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=3$$