解決{c}{x+y=4}{7x+9y=42} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 4 } \\ { 7 x + 9 y = 42 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=4,7x+9y=42$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=4$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+4$$

在另一個方程式 7x+9y=42 中以 -y+4 代入 x在方程式。

$$7\left(-y+4\right)+9y=42$$

7 乘上 -y+4。

$$-7y+28+9y=42$$

將 -7y 加到 9y。

$$2y+28=42$$

從方程式兩邊減去 28。

$$2y=14$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=7$$

在 x=-y+4 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-7+4$$

將 4 加到 -7。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=7$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=4,7x+9y=42$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\42\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\7&9\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\42\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\42\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\42\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9-7}&-\frac{1}{9-7}\\-\frac{7}{9-7}&\frac{1}{9-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\42\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{7}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\42\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 42\\-\frac{7}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 42\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=7$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=4,7x+9y=42$$

讓 x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$7x+7y=7\times 4,7x+9y=42$$

化簡。

$$7x+7y=28,7x+9y=42$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x+7y=28 減去 7x+9y=42。

$$7x-7x+7y-9y=28-42$$

將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$7y-9y=28-42$$

將 7y 加到 -9y。

$$-2y=28-42$$

將 28 加到 -42。

$$-2y=-14$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=7$$

在 7x+9y=42 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+9\times 7=42$$

9 乘上 7。

$$7x+63=42$$

從方程式兩邊減去 63。

$$7x=-21$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=7$$