解決{c}{5x-y=5}{3y-2x=11} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - y = 5 } \\ { 3 y - 2 x = 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x-y=5,-2x+3y=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x-y=5$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$5x=y+5$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 y+5。

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

在另一個方程式 -2x+3y=11 中以 \frac{y}{5}+1 代入 x在方程式。

$$-2\left(\frac{1}{5}y+1\right)+3y=11$$

-2 乘上 \frac{y}{5}+1。

$$-\frac{2}{5}y-2+3y=11$$

將 -\frac{2y}{5} 加到 3y。

$$\frac{13}{5}y-2=11$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$\frac{13}{5}y=13$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=5$$

在 x=\frac{1}{5}y+1 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{5}\times 5+1$$

\frac{1}{5} 乘上 5。

$$x=1+1$$

將 1 加到 1。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x-y=5,-2x+3y=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{13}\times 11\\\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x-y=5,-2x+3y=11$$

讓 5x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 5,5\left(-2\right)x+5\times 3y=5\times 11$$

化簡。

$$-10x+2y=-10,-10x+15y=55$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -10x+2y=-10 減去 -10x+15y=55。

$$-10x+10x+2y-15y=-10-55$$

將 -10x 加到 10x。 -10x 和 10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-15y=-10-55$$

將 2y 加到 -15y。

$$-13y=-10-55$$

將 -10 加到 -55。

$$-13y=-65$$

將兩邊同時除以 -13。

$$y=5$$

在 -2x+3y=11 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+3\times 5=11$$

3 乘上 5。

$$-2x+15=11$$

從方程式兩邊減去 15。

$$-2x=-4$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=5$$