解決{c}{4x-y=18}{3x+5y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y = 18 } \\ { 3 x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-y=18$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$4x=y+18$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(y+18\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 y+18。

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{9}{2}$$

在另一個方程式 3x+5y=2 中以 \frac{y}{4}+\frac{9}{2} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{9}{2}\right)+5y=2$$

3 乘上 \frac{y}{4}+\frac{9}{2}。

$$\frac{3}{4}y+\frac{27}{2}+5y=2$$

將 \frac{3y}{4} 加到 5y。

$$\frac{23}{4}y+\frac{27}{2}=2$$

從方程式兩邊減去 \frac{27}{2}。

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{23}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=\frac{1}{4}y+\frac{9}{2} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{9}{2}$$

\frac{1}{4} 乘上 -2。

$$x=\frac{-1+9}{2}$$

將 \frac{9}{2} 與 -\frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 18+\frac{1}{23}\times 2\\-\frac{3}{23}\times 18+\frac{4}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-y=18,3x+5y=2$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 18,4\times 3x+4\times 5y=4\times 2$$

化簡。

$$12x-3y=54,12x+20y=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-3y=54 減去 12x+20y=8。

$$12x-12x-3y-20y=54-8$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y-20y=54-8$$

將 -3y 加到 -20y。

$$-23y=54-8$$

將 54 加到 -8。

$$-23y=46$$

將兩邊同時除以 -23。

$$y=-2$$

在 3x+5y=2 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+5\left(-2\right)=2$$

5 乘上 -2。

$$3x-10=2$$

將 10 加到方程式的兩邊。

$$3x=12$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-2$$