解決{c}{3x-4y=24}{5x+4y=-12} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - 4 y = 24 } \\ { 5 x + 4 y = - 12 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = -\frac{39}{8} = -4\frac{7}{8} = -4.875$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-4y=24,5x+4y=-12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-4y=24$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$3x=4y+24$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+24\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 24+4y。

$$x=\frac{4}{3}y+8$$

在另一個方程式 5x+4y=-12 中以 8+\frac{4y}{3} 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{4}{3}y+8\right)+4y=-12$$

5 乘上 8+\frac{4y}{3}。

$$\frac{20}{3}y+40+4y=-12$$

將 \frac{20y}{3} 加到 4y。

$$\frac{32}{3}y+40=-12$$

從方程式兩邊減去 40。

$$\frac{32}{3}y=-52$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{32}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{39}{8}$$

在 x=\frac{4}{3}y+8 中以 -\frac{39}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{39}{8}\right)+8$$

\frac{4}{3} 乘上 -\frac{39}{8} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{13}{2}+8$$

將 8 加到 -\frac{13}{2}。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{39}{8}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-4y=24,5x+4y=-12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&-\frac{-4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{32}&\frac{3}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\left(-12\right)\\-\frac{5}{32}\times 24+\frac{3}{32}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{39}{8}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{39}{8}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-4y=24,5x+4y=-12$$

讓 3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\times 24,3\times 5x+3\times 4y=3\left(-12\right)$$

化簡。

$$15x-20y=120,15x+12y=-36$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-20y=120 減去 15x+12y=-36。

$$15x-15x-20y-12y=120+36$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-20y-12y=120+36$$

將 -20y 加到 -12y。

$$-32y=120+36$$

將 120 加到 36。

$$-32y=156$$

將兩邊同時除以 -32。

$$y=-\frac{39}{8}$$

在 5x+4y=-12 中以 -\frac{39}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+4\left(-\frac{39}{8}\right)=-12$$

4 乘上 -\frac{39}{8}。

$$5x-\frac{39}{2}=-12$$

將 \frac{39}{2} 加到方程式的兩邊。

$$5x=\frac{15}{2}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{39}{8}$$