解決{c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$2y+5x=12$$

從方程式兩邊減去 5x。

$$2y=-5x+12$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -5x+12。

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

在另一個方程式 -6y-2x=-24 中以 -\frac{5x}{2}+6 代入 y在方程式。

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

-6 乘上 -\frac{5x}{2}+6。

$$15x-36-2x=-24$$

將 15x 加到 -2x。

$$13x-36=-24$$

將 36 加到方程式的兩邊。

$$13x=12$$

將兩邊同時除以 13。

$$x=\frac{12}{13}$$

在 y=-\frac{5}{2}x+6 中以 \frac{12}{13} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

-\frac{5}{2} 乘上 \frac{12}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

將 6 加到 -\frac{30}{13}。

$$y=\frac{48}{13}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

讓 2y 和 -6y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

化簡。

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -12y-30x=-72 減去 -12y-4x=-48。

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

將 -12y 加到 12y。 -12y 和 12y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-30x+4x=-72+48$$

將 -30x 加到 4x。

$$-26x=-72+48$$

將 -72 加到 48。

$$-26x=-24$$

將兩邊同時除以 -26。

$$x=\frac{12}{13}$$

在 -6y-2x=-24 中以 \frac{12}{13} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

-2 乘上 \frac{12}{13}。

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

將 \frac{24}{13} 加到方程式的兩邊。

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=\frac{48}{13}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$