\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { - 6 x + y = 11 } \end{array} \right.
解 x、y
x=-1
y=5
圖表
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2x+3y=13,-6x+y=11
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x+3y=13
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=-3y+13
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)
將兩邊同時除以 2。
x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}
\frac{1}{2} 乘上 -3y+13。
-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11
在另一個方程式 -6x+y=11 中以 \frac{-3y+13}{2} 代入 x在方程式。
9y-39+y=11
-6 乘上 \frac{-3y+13}{2}。
10y-39=11
將 9y 加到 y。
10y=50
將 39 加到方程式的兩邊。
y=5
將兩邊同時除以 10。
x=-\frac{3}{2}\times 5+\frac{13}{2}
在 x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-15+13}{2}
-\frac{3}{2} 乘上 5。
x=-1
將 \frac{13}{2} 與 -\frac{15}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=-1,y=5
現已成功解出系統。
2x+3y=13,-6x+y=11
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-6\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2-3\left(-6\right)}&\frac{2}{2-3\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{3}{20}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 13-\frac{3}{20}\times 11\\\frac{3}{10}\times 13+\frac{1}{10}\times 11\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)
計算。
x=-1,y=5
解出矩陣元素 x 和 y。
2x+3y=13,-6x+y=11
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-6\times 2x-6\times 3y=-6\times 13,2\left(-6\right)x+2y=2\times 11
讓 2x 和 -6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
-12x-18y=-78,-12x+2y=22
化簡。
-12x+12x-18y-2y=-78-22
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -12x-18y=-78 減去 -12x+2y=22。
-18y-2y=-78-22
將 -12x 加到 12x。 -12x 和 12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-20y=-78-22
將 -18y 加到 -2y。
-20y=-100
將 -78 加到 -22。
y=5
將兩邊同時除以 -20。
-6x+5=11
在 -6x+y=11 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-6x=6
從方程式兩邊減去 5。
x=-1
將兩邊同時除以 -6。
x=-1,y=5
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}