\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 30 } \end{array} \right.
解 x、y
x=2
y=-9
圖表
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6x-2y=2\left(x-5y\right)-64
考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 3x-y 時使用乘法分配律。
6x-2y=2x-10y-64
計算 2 乘上 x-5y 時使用乘法分配律。
6x-2y-2x=-10y-64
從兩邊減去 2x。
4x-2y=-10y-64
合併 6x 和 -2x 以取得 4x。
4x-2y+10y=-64
新增 10y 至兩側。
4x+8y=-64
合併 -2y 和 10y 以取得 8y。
9x-6-2y=30
考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 3x-2 時使用乘法分配律。
9x-2y=30+6
新增 6 至兩側。
9x-2y=36
將 30 與 6 相加可以得到 36。
4x+8y=-64,9x-2y=36
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
4x+8y=-64
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
4x=-8y-64
從方程式兩邊減去 8y。
x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)
將兩邊同時除以 4。
x=-2y-16
\frac{1}{4} 乘上 -8y-64。
9\left(-2y-16\right)-2y=36
在另一個方程式 9x-2y=36 中以 -2y-16 代入 x在方程式。
-18y-144-2y=36
9 乘上 -2y-16。
-20y-144=36
將 -18y 加到 -2y。
-20y=180
將 144 加到方程式的兩邊。
y=-9
將兩邊同時除以 -20。
x=-2\left(-9\right)-16
在 x=-2y-16 中以 -9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=18-16
-2 乘上 -9。
x=2
將 -16 加到 18。
x=2,y=-9
現已成功解出系統。
6x-2y=2\left(x-5y\right)-64
考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 3x-y 時使用乘法分配律。
6x-2y=2x-10y-64
計算 2 乘上 x-5y 時使用乘法分配律。
6x-2y-2x=-10y-64
從兩邊減去 2x。
4x-2y=-10y-64
合併 6x 和 -2x 以取得 4x。
4x-2y+10y=-64
新增 10y 至兩側。
4x+8y=-64
合併 -2y 和 10y 以取得 8y。
9x-6-2y=30
考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 3x-2 時使用乘法分配律。
9x-2y=30+6
新增 6 至兩側。
9x-2y=36
將 30 與 6 相加可以得到 36。
4x+8y=-64,9x-2y=36
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 36\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 36\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right)
計算。
x=2,y=-9
解出矩陣元素 x 和 y。
6x-2y=2\left(x-5y\right)-64
考慮第一個方程式。 計算 2 乘上 3x-y 時使用乘法分配律。
6x-2y=2x-10y-64
計算 2 乘上 x-5y 時使用乘法分配律。
6x-2y-2x=-10y-64
從兩邊減去 2x。
4x-2y=-10y-64
合併 6x 和 -2x 以取得 4x。
4x-2y+10y=-64
新增 10y 至兩側。
4x+8y=-64
合併 -2y 和 10y 以取得 8y。
9x-6-2y=30
考慮第二個方程式。 計算 3 乘上 3x-2 時使用乘法分配律。
9x-2y=30+6
新增 6 至兩側。
9x-2y=36
將 30 與 6 相加可以得到 36。
4x+8y=-64,9x-2y=36
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 36
讓 4x 和 9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。
36x+72y=-576,36x-8y=144
化簡。
36x-36x+72y+8y=-576-144
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 36x+72y=-576 減去 36x-8y=144。
72y+8y=-576-144
將 36x 加到 -36x。 36x 和 -36x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
80y=-576-144
將 72y 加到 8y。
80y=-720
將 -576 加到 -144。
y=-9
將兩邊同時除以 80。
9x-2\left(-9\right)=36
在 9x-2y=36 中以 -9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
9x+18=36
-2 乘上 -9。
9x=18
從方程式兩邊減去 18。
x=2
將兩邊同時除以 9。
x=2,y=-9
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}