解決{c}{-2x-4y=-12}{2x+3y=9} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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-2x-4y=-12,2x+3y=9

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

-2x-4y=-12

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

-2x=4y-12

將 4y 加到方程式的兩邊。

x=-\frac{1}{2}\left(4y-12\right)

將兩邊同時除以 -2。

x=-2y+6

-\frac{1}{2} 乘上 -12+4y。

2\left(-2y+6\right)+3y=9

在另一個方程式 2x+3y=9 中以 -2y+6 代入 x在方程式。

-4y+12+3y=9

2 乘上 -2y+6。

-y+12=9

將 -4y 加到 3y。

-y=-3

從方程式兩邊減去 12。

y=3

將兩邊同時除以 -1。

x=-2\times 3+6

在 x=-2y+6 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=-6+6

-2 乘上 3。

x=0

將 6 加到 -6。

x=0,y=3

現已成功解出系統。

-2x-4y=-12,2x+3y=9

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-12\right)+2\times 9\\-\left(-12\right)-9\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)

計算。

x=0,y=3

解出矩陣元素 x 和 y。

-2x-4y=-12,2x+3y=9

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-12\right),-2\times 2x-2\times 3y=-2\times 9

讓 -2x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。