解決∫ (from 5 to 9) of x^4-28x^3+286x^2-1260x+2025 wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int_{ 5 }^{ 9 } { x }^{ 4 } -28 { x }^{ 3 } +286 { x }^{ 2 } -1260x+2025 d x$$

評估

$$\frac{512}{15}\approx 34.133333333$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int x^{4}-28x^{3}+286x^{2}-1260x+2025\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int x^{4}\mathrm{d}x+\int -28x^{3}\mathrm{d}x+\int 286x^{2}\mathrm{d}x+\int -1260x\mathrm{d}x+\int 2025\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$\int x^{4}\mathrm{d}x-28\int x^{3}\mathrm{d}x+286\int x^{2}\mathrm{d}x-1260\int x\mathrm{d}x+\int 2025\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{5}}{5} 取代 \int x^{4}\mathrm{d}x。

$$\frac{x^{5}}{5}-28\int x^{3}\mathrm{d}x+286\int x^{2}\mathrm{d}x-1260\int x\mathrm{d}x+\int 2025\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{4}}{4} 取代 \int x^{3}\mathrm{d}x。 -28 乘上 \frac{x^{4}}{4}。

$$\frac{x^{5}}{5}-7x^{4}+286\int x^{2}\mathrm{d}x-1260\int x\mathrm{d}x+\int 2025\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 286 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$\frac{x^{5}}{5}-7x^{4}+\frac{286x^{3}}{3}-1260\int x\mathrm{d}x+\int 2025\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。 -1260 乘上 \frac{x^{2}}{2}。

$$\frac{x^{5}}{5}-7x^{4}+\frac{286x^{3}}{3}-630x^{2}+\int 2025\mathrm{d}x$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}x=ax 的表格來找出 2025 的積分。

$$\frac{x^{5}}{5}-7x^{4}+\frac{286x^{3}}{3}-630x^{2}+2025x$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{9^{5}}{5}-7\times 9^{4}+\frac{286}{3}\times 9^{3}-630\times 9^{2}+2025\times 9-\left(\frac{5^{5}}{5}-7\times 5^{4}+\frac{286}{3}\times 5^{3}-630\times 5^{2}+2025\times 5\right)$$

化簡。

$$\frac{512}{15}$$