解決∫ (from 0 to 3) of (135+95x)(6+x) wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int_{ 0 }^{ 3 } (135+95x)(6+x) d x$$

評估

$$\frac{12915}{2}=6457.5$$

解題步驟

透過將 135+95x 的每個項乘以 6+x 的每個項以套用乘法分配律。

$$\int _{0}^{3}810+135x+570x+95x^{2}\mathrm{d}x$$

合併 135x 和 570x 以取得 705x。

$$\int _{0}^{3}810+705x+95x^{2}\mathrm{d}x$$

先計算不定積分。

$$\int 810+705x+95x^{2}\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int 810\mathrm{d}x+\int 705x\mathrm{d}x+\int 95x^{2}\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$\int 810\mathrm{d}x+705\int x\mathrm{d}x+95\int x^{2}\mathrm{d}x$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}x=ax 的表格來找出 810 的積分。

$$810x+705\int x\mathrm{d}x+95\int x^{2}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。 705 乘上 \frac{x^{2}}{2}。

$$810x+\frac{705x^{2}}{2}+95\int x^{2}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 95 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$810x+\frac{705x^{2}}{2}+\frac{95x^{3}}{3}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$810\times 3+\frac{705}{2}\times 3^{2}+\frac{95}{3}\times 3^{3}-\left(810\times 0+\frac{705}{2}\times 0^{2}+\frac{95}{3}\times 0^{3}\right)$$

化簡。

$$\frac{12915}{2}$$