解決∫ (from 0 to 1) of (3x^3-x^2+2x-4) wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int_{ 0 }^{ 1 } (3 { x }^{ 3 } - { x }^{ 2 } +2x-4) d x$$

評估

$$-\frac{31}{12}\approx -2.583333333$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int 3x^{3}-x^{2}+2x-4\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int 3x^{3}\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$3\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{4}}{4} 取代 \int x^{3}\mathrm{d}x。 3 乘上 \frac{x^{4}}{4}。

$$\frac{3x^{4}}{4}-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 -1 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。 2 乘上 \frac{x^{2}}{2}。

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\int -4\mathrm{d}x$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}x=ax 的表格來找出 -4 的積分。

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}-4x$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{3}{4}\times 1^{4}-\frac{1^{3}}{3}+1^{2}-4-\left(\frac{3}{4}\times 0^{4}-\frac{0^{3}}{3}+0^{2}-4\times 0\right)$$

化簡。

$$-\frac{31}{12}$$