解決∫ (from 0 to 1) of (2x+2-1-2x^2-2x^2+x) wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int_{ 0 }^{ 1 } (2x+2-1-2 { x }^{ 2 } -2 { x }^{ 2 } +x) d x$$

評估

$$\frac{7}{6}\approx 1.166666667$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int 2x+2-1-2x^{2}-2x^{2}+x\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int 2x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x+\int -2x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$2\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。 2 乘上 \frac{x^{2}}{2}。

$$x^{2}+\int 2\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}x=ax 的表格來找出 2 的積分。

$$x^{2}+2x+\int -1\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}x=ax 的表格來找出 -1 的積分。

$$x^{2}+2x-x-2\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 -2 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$x^{2}+2x-x-\frac{2x^{3}}{3}-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 -2 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$x^{2}+2x-x-\frac{2x^{3}}{3}-\frac{2x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。

$$x^{2}+2x-x-\frac{2x^{3}}{3}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

化簡。

$$\frac{3x^{2}}{2}+x-\frac{4x^{3}}{3}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{3}{2}\times 1^{2}+1-\frac{4}{3}\times 1^{3}-\left(\frac{3}{2}\times 0^{2}+0-\frac{4}{3}\times 0^{3}\right)$$

化簡。

$$\frac{7}{6}$$