解決∫ (from 0 to 1) of {left(1-sqrt{x}right)}^2 wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int_{ 0 }^{ 1 } { \left(1- \sqrt{ x } \right) }^{ 2 } d x$$

評估

$$\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

解題步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(1-\sqrt{x}\right)^{2}。

$$\int _{0}^{1}1-2\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

計算 \sqrt{x} 的 2 乘冪，然後得到 x。

$$\int _{0}^{1}1-2\sqrt{x}+x\mathrm{d}x$$

先計算不定積分。

$$\int 1-2\sqrt{x}+x\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int 1\mathrm{d}x+\int -2\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$\int 1\mathrm{d}x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}x=ax 的表格來找出 1 的積分。

$$x-2\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

將 \sqrt{x} 重寫為 x^{\frac{1}{2}}。 因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} 取代 \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x。 化簡。 -2 乘上 \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}。

$$x-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。

$$x-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

化簡。

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}+x$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{4}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}+1-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{4}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}+0\right)$$

化簡。

$$\frac{1}{6}$$