解決∫ (from 0 to pi) of sqrt{2x^3 wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int_{ 0 }^{ \pi } \sqrt{ 2 { x }^{ 3 } } d x$$

評估

$$\frac{2\sqrt{2}\pi ^{\frac{5}{2}}}{5}\approx 9.89577178$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int \sqrt{2x^{3}}\mathrm{d}x$$

使用 \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x 因式分解常數。

$$\sqrt{2}\int \sqrt{x^{3}}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5} 取代 \int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x。

$$\sqrt{2}\times \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

化簡。

$$\frac{2\sqrt{2}x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\pi ^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\times 0^{\frac{5}{2}}$$

化簡。

$$\frac{\left(2\pi \right)^{\frac{5}{2}}}{10}$$