解決∫ x^2(2x^3+4)^2 wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int x ^ { 2 } ( 2 x ^ { 3 } + 4 ) ^ { 2 } d x$$

評估

$$\frac{4x^{9}}{9}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{16x^{3}}{3}+С$$

解題步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2x^{3}+4\right)^{2}。

$$\int x^{2}\left(4\left(x^{3}\right)^{2}+16x^{3}+16\right)\mathrm{d}x$$

計算某數乘冪之乘冪的方法: 將指數相乘。3 乘 2 得到 6。

$$\int x^{2}\left(4x^{6}+16x^{3}+16\right)\mathrm{d}x$$

計算 x^{2} 乘上 4x^{6}+16x^{3}+16 時使用乘法分配律。

$$\int 4x^{8}+16x^{5}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int 4x^{8}\mathrm{d}x+\int 16x^{5}\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$4\int x^{8}\mathrm{d}x+16\int x^{5}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{9}}{9} 取代 \int x^{8}\mathrm{d}x。 4 乘上 \frac{x^{9}}{9}。

$$\frac{4x^{9}}{9}+16\int x^{5}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{6}}{6} 取代 \int x^{5}\mathrm{d}x。 16 乘上 \frac{x^{6}}{6}。

$$\frac{4x^{9}}{9}+\frac{8x^{6}}{3}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 16 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$\frac{4x^{9}}{9}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{16x^{3}}{3}$$

化簡。

$$\frac{16x^{3}}{3}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{4x^{9}}{9}$$

如果 F\left(x\right) 是 f\left(x\right) 的不定積分，則 f\left(x\right) 的所有不定積分集合都會由 F\left(x\right)+C 指定。因此，在結果中加上 C\in \mathrm{R} 的積分常數。

$$\frac{16x^{3}}{3}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{4x^{9}}{9}+С$$

對 x 微分

$$4\left(x\left(x^{3}+2\right)\right)^{2}$$