解決∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

評估

$$\frac{271}{6}\approx 45.166666667$$

解題步驟

計算 \sqrt{x}+1 乘上 \sqrt{x} 時使用乘法分配律。

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

計算 \sqrt{x} 的 2 乘冪，然後得到 x。

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

先計算不定積分。

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

將 \sqrt{x} 重寫為 x^{\frac{1}{2}}。 因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} 取代 \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x。 化簡。

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

化簡。

$$\frac{271}{6}$$