解決∫ (from 1 to 2) of (x^3+5)^2(3x^2) wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( x ^ { 3 } + 5 ) ^ { 2 } ( 3 x ^ { 2 } ) d x$$

評估

$$\frac{1981}{3}\approx 660.333333333$$

解題步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x^{3}+5\right)^{2}。

$$\int _{1}^{2}\left(\left(x^{3}\right)^{2}+10x^{3}+25\right)\times 3x^{2}\mathrm{d}x$$

計算某數乘冪之乘冪的方法: 將指數相乘。3 乘 2 得到 6。

$$\int _{1}^{2}\left(x^{6}+10x^{3}+25\right)\times 3x^{2}\mathrm{d}x$$

計算 x^{6}+10x^{3}+25 乘上 3 時使用乘法分配律。

$$\int _{1}^{2}\left(3x^{6}+30x^{3}+75\right)x^{2}\mathrm{d}x$$

計算 3x^{6}+30x^{3}+75 乘上 x^{2} 時使用乘法分配律。

$$\int _{1}^{2}3x^{8}+30x^{5}+75x^{2}\mathrm{d}x$$

先計算不定積分。

$$\int 3x^{8}+30x^{5}+75x^{2}\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int 3x^{8}\mathrm{d}x+\int 30x^{5}\mathrm{d}x+\int 75x^{2}\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$3\int x^{8}\mathrm{d}x+30\int x^{5}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{9}}{9} 取代 \int x^{8}\mathrm{d}x。 3 乘上 \frac{x^{9}}{9}。

$$\frac{x^{9}}{3}+30\int x^{5}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{6}}{6} 取代 \int x^{5}\mathrm{d}x。 30 乘上 \frac{x^{6}}{6}。

$$\frac{x^{9}}{3}+5x^{6}+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 75 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$\frac{x^{9}}{3}+5x^{6}+25x^{3}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$25\times 2^{3}+5\times 2^{6}+\frac{2^{9}}{3}-\left(25\times 1^{3}+5\times 1^{6}+\frac{1^{9}}{3}\right)$$

化簡。

$$\frac{1981}{3}$$