解決∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

評估

$$-\frac{16}{3}\approx -5.333333333$$

解題步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(4-\sqrt{x}\right)^{2}。

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

計算 \sqrt{x} 的 2 乘冪，然後得到 x。

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

若要尋找 16-8\sqrt{x}+x 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

從 6 減去 16 會得到 -10。

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

先計算不定積分。

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}x=ax 的表格來找出 -10 的積分。

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

將 \sqrt{x} 重寫為 x^{\frac{1}{2}}。 因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} 取代 \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x。 化簡。 8 乘上 \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}。

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。 -1 乘上 \frac{x^{2}}{2}。

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

化簡。

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

化簡。

$$-\frac{16}{3}$$