Solve ∫ (from 0 to 3) of [3x+2x^2-x^3]

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } [ 3 x + 2 x ^ { 2 } - x ^ { 3 } ]$$

評估

$$\frac{45}{4}=11.25$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int 3x+2x^{2}-x^{3}\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int 3x\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int -x^{3}\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$3\int x\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x^{3}\mathrm{d}x$$

自 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 之後，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。 3 乘上 \frac{x^{2}}{2}。

$$\frac{3x^{2}}{2}+2\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x^{3}\mathrm{d}x$$

自 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 之後，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 2 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$\frac{3x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}-\int x^{3}\mathrm{d}x$$

自 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 之後，請以 \frac{x^{4}}{4} 取代 \int x^{3}\mathrm{d}x。 -1 乘上 \frac{x^{4}}{4}。

$$\frac{3x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{3}{2}\times 3^{2}+\frac{2}{3}\times 3^{3}-\frac{3^{4}}{4}-\left(\frac{3}{2}\times 0^{2}+\frac{2}{3}\times 0^{3}-\frac{0^{4}}{4}\right)$$

化簡。

$$\frac{45}{4}$$