解決∫ (from 0 to 2) of (4x-x^3)^2 wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 x - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } d x$$

評估

$$\frac{1024}{105}\approx 9.752380952$$

解題步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(4x-x^{3}\right)^{2}。

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8xx^{3}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

計算有相同底數之乘冪數相乘的方法: 將指數相加。1 加 3 得到 4。

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

計算某數乘冪之乘冪的方法: 將指數相乘。3 乘 2 得到 6。

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

先計算不定積分。

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 16 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{5}}{5} 取代 \int x^{4}\mathrm{d}x。 -8 乘上 \frac{x^{5}}{5}。

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{7}}{7} 取代 \int x^{6}\mathrm{d}x。

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

化簡。

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{2^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 2^{5}+\frac{16}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{0^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 0^{5}+\frac{16}{3}\times 0^{3}\right)$$

化簡。

$$\frac{1024}{105}$$