解決∫ (from 0 to 2 pi) of int_0^1rsqrt{4r^2+1}drdθ |Microsoft數學求解器

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } r \sqrt { 4 r ^ { 2 } + 1 } d r d \theta$$

評估

$$\frac{5\pi \sqrt{5}-\pi }{6}\approx 5.3304135$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}\theta =a\theta 的表格來找出 \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r 的積分。

$$\int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\theta$$

化簡。

$$\frac{5\sqrt{5}-1}{12}\theta$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 2\pi -\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 0$$

化簡。

$$\frac{5\sqrt{5}\pi -\pi }{6}$$