解決∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr |Microsoft數學求解器

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

評估

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

將積分逐項加總。

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

在每個項目中因式分解常數。

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

因為 \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{r^{2}}{2} 取代 \int r\mathrm{d}r。

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

因為 \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{r^{3}}{3} 取代 \int r^{2}\mathrm{d}r。 -1 乘上 \frac{r^{3}}{3}。

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

化簡。

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

對 x 微分

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$