解決∫ (from 0 to frac { 1) of {2}}sqrt{2x wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { 2 x } d x$$

評估

$$\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int \sqrt{2x}\mathrm{d}x$$

使用 \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x 因式分解常數。

$$\sqrt{2}\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

將 \sqrt{x} 重寫為 x^{\frac{1}{2}}。 因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} 取代 \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x。 化簡。

$$\sqrt{2}\times \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

化簡。

$$\frac{2\sqrt{2}x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{2}{3}\times 2^{\frac{1}{2}}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\times 2^{\frac{1}{2}}\times 0^{\frac{3}{2}}$$

化簡。

$$\frac{1}{3}$$