解決∫ (from 0 to sqrt { 2) of / 2 } (1/2x^2-x^4) wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int _ { 0 } ^ { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } ( \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - x ^ { 4 } ) d x$$

評估

$$\frac{\sqrt{2}}{60}\approx 0.023570226$$

解題步驟

先計算不定積分。

$$\int \frac{x^{2}}{2}-x^{4}\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int \frac{x^{2}}{2}\mathrm{d}x+\int -x^{4}\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$\frac{\int x^{2}\mathrm{d}x}{2}-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 \frac{1}{2} 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$\frac{x^{3}}{6}-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{5}}{5} 取代 \int x^{4}\mathrm{d}x。 -1 乘上 \frac{x^{5}}{5}。

$$\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{5}}{5}$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$\frac{1}{6}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{3}-\frac{1}{5}\times \left(\frac{1}{2}\times 2^{\frac{1}{2}}\right)^{5}-\left(\frac{0^{3}}{6}-\frac{0^{5}}{5}\right)$$

化簡。

$$\frac{\sqrt{2}}{60}$$