解決∫ (from - 015 to 665) of [(-x^2+2x)-(-1+1/2x)] wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int _ { - 015 } ^ { 665 } [ ( - x ^ { 2 } + 2 x ) - ( - 1 + \frac { 1 } { 2 } x ) ] d x$$

評估

$$-\frac{1172330495}{12}\approx -97694207.916666667$$

解題步驟

若要尋找 -1+\frac{1}{2}x 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$\int _{0\times 15}^{665}-x^{2}+2x+1-\frac{1}{2}x\mathrm{d}x$$

合併 2x 和 -\frac{1}{2}x 以取得 \frac{3}{2}x。

$$\int _{0\times 15}^{665}-x^{2}+\frac{3}{2}x+1\mathrm{d}x$$

將 0 乘上 15 得到 0。

$$\int _{0}^{665}-x^{2}+\frac{3}{2}x+1\mathrm{d}x$$

先計算不定積分。

$$\int -x^{2}+\frac{3x}{2}+1\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int \frac{3x}{2}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+\frac{3\int x\mathrm{d}x}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 -1 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3\int x\mathrm{d}x}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。 \frac{3}{2} 乘上 \frac{x^{2}}{2}。

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{4}+\int 1\mathrm{d}x$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}x=ax 的表格來找出 1 的積分。

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{4}+x$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$-\frac{665^{3}}{3}+\frac{3}{4}\times 665^{2}+665-\left(-\frac{0^{3}}{3}+\frac{3}{4}\times 0^{2}+0\right)$$

化簡。

$$-\frac{1172330495}{12}$$