解決∫ (from - 0.15 to 665) of [(-x^2+2x)-(-1+1/2x)] wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int _ { - 0.15 } ^ { 665 } [ ( - x ^ { 2 } + 2 x ) - ( - 1 + \frac { 1 } { 2 } x ) ] d x$$

評估

$$-\frac{146541311677}{1500}\approx -97694207.784666667$$

解題步驟

若要尋找 -1+\frac{1}{2}x 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$\int _{-0.15}^{665}-x^{2}+2x+1-\frac{1}{2}x\mathrm{d}x$$

合併 2x 和 -\frac{1}{2}x 以取得 \frac{3}{2}x。

$$\int _{-0.15}^{665}-x^{2}+\frac{3}{2}x+1\mathrm{d}x$$

先計算不定積分。

$$\int -x^{2}+\frac{3x}{2}+1\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int \frac{3x}{2}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+\frac{3\int x\mathrm{d}x}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{3}}{3} 取代 \int x^{2}\mathrm{d}x。 -1 乘上 \frac{x^{3}}{3}。

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3\int x\mathrm{d}x}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{x^{2}}{2} 取代 \int x\mathrm{d}x。 \frac{3}{2} 乘上 \frac{x^{2}}{2}。

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{4}+\int 1\mathrm{d}x$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}x=ax 的表格來找出 1 的積分。

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{4}+x$$

定積分是運算式於積分上限所計值的反導數減去多項式於積分下限所計值的反導數。

$$-\frac{665^{3}}{3}+\frac{3}{4}\times 665^{2}+665-\left(-\frac{\left(-0.15\right)^{3}}{3}+\frac{3}{4}\left(-0.15\right)^{2}-0.15\right)$$

化簡。

$$-\frac{146541311677}{1500}$$