解決∫ (1-sqrt[3]{x^2})^2 wrt x |Microsoft數學求解器

$$\int ( 1 - \sqrt[ 3 ] { x ^ { 2 } } ) ^ { 2 } d x$$

評估

$$\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+x+С$$

解題步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(1-\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}。

$$\int 1-2\sqrt[3]{x^{2}}+\left(\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

將積分逐項加總。

$$\int 1\mathrm{d}x+\int -2x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

在每個項目中因式分解常數。

$$\int 1\mathrm{d}x-2\int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}x=ax 的表格來找出 1 的積分。

$$x-2\int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5} 取代 \int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x。 -2 乘上 \frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}。

$$x-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+\int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x$$

因為 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1，請以 \frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7} 取代 \int x^{\frac{4}{3}}\mathrm{d}x。

$$x-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}$$

化簡。

$$\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+x$$

如果 F\left(x\right) 是 f\left(x\right) 的不定積分，則 f\left(x\right) 的所有不定積分集合都會由 F\left(x\right)+C 指定。因此，在結果中加上 C\in \mathrm{R} 的積分常數。

$$\frac{3x^{\frac{7}{3}}}{7}-\frac{6x^{\frac{5}{3}}}{5}+x+С$$

對 x 微分

$$\left(x^{\frac{2}{3}}-1\right)^{2}$$