解決∫ [a^2-5a+6/a^2+7a+6:(2a+10/a+1-a-1)+1/a+3]*2a^2+5a-3/2a^2 |Microsoft數學求解器

$$\int [ \frac { a ^ { 2 } - 5 a + 6 } { a ^ { 2 } + 7 a + 6 } : ( \frac { 2 a + 10 } { a + 1 } - a - 1 ) + \frac { 1 } { a + 3 } ] \cdot \frac { 2 a ^ { 2 } + 5 a - 3 } { 2 a ^ { 2 } }$$

評估

$$\frac{8ax-4x}{\left(a+6\right)a^{2}}+С$$

解題步驟

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 -a-1 乘上 \frac{a+1}{a+1}。

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10}{a+1}+\frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

因為 \frac{2a+10}{a+1} 和 \frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

計算 2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right) 的乘法。

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10-a^{2}-a-a-1}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

合併 2a+10-a^{2}-a-a-1 中的同類項。

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{9-a^{2}}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} 除以 \frac{9-a^{2}}{a+1} 的算法是將 \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} 乘以 \frac{9-a^{2}}{a+1} 的倒數。

$$\int \left(\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

因數分解 \frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)} 中尚未分解的運算式。

$$\int \left(\frac{\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a-3\right)\left(-a-3\right)\left(a+1\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

在分子和分母中同時消去 \left(a-3\right)\left(a+1\right)。

$$\int \left(\frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

若要對運算式相加或相減，請先通分使其分母相同。 \left(-a-3\right)\left(a+6\right) 和 a+3 的最小公倍式為 \left(a+3\right)\left(a+6\right)。 \frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)} 乘上 \frac{-1}{-1}。 \frac{1}{a+3} 乘上 \frac{a+6}{a+6}。

$$\int \left(\frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}+\frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

因為 \frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} 和 \frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} 的分母相同，所以將分子相加即可相加這兩個值。

$$\int \frac{-\left(a-2\right)+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

計算 -\left(a-2\right)+a+6 的乘法。

$$\int \frac{-a+2+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

合併 -a+2+a+6 中的同類項。

$$\int \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

\frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} 乘上 \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。

$$\int \frac{8\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)\times 2a^{2}}\mathrm{d}x$$

在分子和分母中同時消去 2。

$$\int \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

因數分解 \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}} 中尚未分解的運算式。

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

在分子和分母中同時消去 a+3。

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

計算 4 乘上 2a-1 時使用乘法分配律。

$$\int \frac{8a-4}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

計算 a+6 乘上 a^{2} 時使用乘法分配律。

$$\int \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}\mathrm{d}x$$

使用常用積分規則 \int a\mathrm{d}x=ax 的表格來找出 \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}} 的積分。

$$\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}x$$

化簡。

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}$$

如果 F\left(x\right) 是 f\left(x\right) 的不定積分，則 f\left(x\right) 的所有不定積分集合都會由 F\left(x\right)+C 指定。因此，在結果中加上 C\in \mathrm{R} 的積分常數。

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}+С$$

對 x 微分

$$\frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}$$