解決d/dθleft(cos(θ)right) |Microsoft數學求解器

$$\frac{d}{d \theta } \left( \cos ( \theta ) \right)$$

評估

$$-\sin(\theta )$$

使用導數定義的步驟

對函式 f\left(x\right)，導數是當 h 逼近 0 時 \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} 的極限值 (如果極限值存在的話)。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\cos(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta +h)-\cos(\theta )}{h}\right)$$

使用餘弦的合計公式。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h+\theta )-\cos(\theta )}{h}$$

因式分解 \cos(\theta )。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta )\left(\cos(h)-1\right)-\sin(\theta )\sin(h)}{h}$$

改寫極限。

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

計算 h 逼近 0 時的極限值，可以利用 \theta 是常數的事實。

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

limit \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } 為 1。

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )$$

計算 limit \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} 的方法: 先將分母與分子乘上 \cos(h)+1。

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

\cos(h)+1 乘上 \cos(h)-1。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

使用平方關係式。

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

改寫極限。

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

limit \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } 為 1。

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

利用 \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} 在 0 上是連續的事實。

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

將值 0 代入運算式 \cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )。

$$-\sin(\theta )$$

對 θ 微分

$$-\cos(\theta )$$