解決x-1/2x+1=2x+1/x-1+3 |Microsoft數學求解器

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

解 x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0.434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0.767591879$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -\frac{1}{2},1 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-1\right)\left(2x+1\right)，這是 2x+1,x-1 的最小公倍數。

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

將 x-1 乘上 x-1 得到 \left(x-1\right)^{2}。

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

將 2x+1 乘上 2x+1 得到 \left(2x+1\right)^{2}。

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(x-1\right)^{2}。

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2x+1\right)^{2}。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

計算 x-1 乘上 2x+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

計算 2x^{2}-x-1 乘上 3 時使用乘法分配律。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

合併 4x^{2} 和 6x^{2} 以取得 10x^{2}。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

合併 4x 和 -3x 以取得 x。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

從 1 減去 3 會得到 -2。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

從兩邊減去 10x^{2}。

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

合併 x^{2} 和 -10x^{2} 以取得 -9x^{2}。

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

從兩邊減去 x。

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

合併 -2x 和 -x 以取得 -3x。

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

新增 2 至兩側。

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

將 1 與 2 相加可以得到 3。

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -9 代入 a，將 -3 代入 b，以及將 3 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

對 -3 平方。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

-4 乘上 -9。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

36 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

將 9 加到 108。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

取 117 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

-3 的相反數是 3。

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

2 乘上 -9。

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}。 將 3 加到 3\sqrt{13}。

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

3+3\sqrt{13} 除以 -18。

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}。 從 3 減去 3\sqrt{13}。

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

3-3\sqrt{13} 除以 -18。

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -\frac{1}{2},1 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-1\right)\left(2x+1\right)，這是 2x+1,x-1 的最小公倍數。

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

將 x-1 乘上 x-1 得到 \left(x-1\right)^{2}。

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

將 2x+1 乘上 2x+1 得到 \left(2x+1\right)^{2}。

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(x-1\right)^{2}。

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2x+1\right)^{2}。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

計算 x-1 乘上 2x+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

計算 2x^{2}-x-1 乘上 3 時使用乘法分配律。

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

合併 4x^{2} 和 6x^{2} 以取得 10x^{2}。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

合併 4x 和 -3x 以取得 x。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

從 1 減去 3 會得到 -2。

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

從兩邊減去 10x^{2}。

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

合併 x^{2} 和 -10x^{2} 以取得 -9x^{2}。

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

從兩邊減去 x。

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

合併 -2x 和 -x 以取得 -3x。

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

從兩邊減去 1。

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

從 -2 減去 1 會得到 -3。

$$-9x^{2}-3x=-3$$

將兩邊同時除以 -9。

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

除以 -9 可以取消乘以 -9 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{-3}{-9} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{-3}{-9} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

將 \frac{1}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{6}。接著，將 \frac{1}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

\frac{1}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

將 \frac{1}{3} 與 \frac{1}{36} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

因數分解 x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

化簡。

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{6}。

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$