解決frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b} |Microsoft數學求解器

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

解 b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

解根式方程式的步驟

將分子和分母同時乘以 2+\sqrt{5}，來有理化 \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} 的分母。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

請考慮 \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

對 2 平方。 對 \sqrt{5} 平方。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

從 4 減去 5 會得到 -1。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

將 2+\sqrt{5} 乘上 2+\sqrt{5} 得到 \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

將 4 與 5 相加可以得到 9。

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

任何數字除以 -1 都會得到該數字的負數。 若要尋找 9+4\sqrt{5} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

將分子和分母同時乘以 2-\sqrt{5}，來有理化 \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} 的分母。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

請考慮 \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

對 2 平方。 對 \sqrt{5} 平方。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

從 4 減去 5 會得到 -1。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

將 2-\sqrt{5} 乘上 2-\sqrt{5} 得到 \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

將 4 與 5 相加可以得到 9。

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

任何數字除以 -1 都會得到該數字的負數。 若要尋找 9-4\sqrt{5} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

從 -9 減去 9 會得到 -18。

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

合併 -4\sqrt{5} 和 4\sqrt{5} 以取得 0。

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

從兩邊減去 a。

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

對方程式的兩邊都平方。

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

將兩邊同時除以 5。

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

除以 5 可以取消乘以 5 造成的效果。

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

解 a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$