解決frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}} |Microsoft數學求解器

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

評估

$$8\sqrt{3}\approx 13.856406461$$

解題步驟

將分子和分母同時乘以 2+\sqrt{3}，來有理化 \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} 的分母。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

請考慮 \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

對 2 平方。 對 \sqrt{3} 平方。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

從 4 減去 3 會得到 1。

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

任何項目除以一結果都為其本身。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

將 2+\sqrt{3} 乘上 2+\sqrt{3} 得到 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

將分子和分母同時乘以 2-\sqrt{3}，來有理化 \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} 的分母。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

請考慮 \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

對 2 平方。 對 \sqrt{3} 平方。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

從 4 減去 3 會得到 1。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

任何項目除以一結果都為其本身。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

將 2-\sqrt{3} 乘上 2-\sqrt{3} 得到 \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}。

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}。

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

將 4 與 3 相加可以得到 7。

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}。

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

將 4 與 3 相加可以得到 7。

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

若要尋找 7-4\sqrt{3} 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

-4\sqrt{3} 的相反數是 4\sqrt{3}。

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

從 7 減去 7 會得到 0。

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

合併 4\sqrt{3} 和 4\sqrt{3} 以取得 8\sqrt{3}。

$$8\sqrt{3}$$