解決2/x-3+3/x-2=3 |Microsoft數學求解器

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4.215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2.45141623$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 2,3 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-3\right)\left(x-2\right)，這是 x-3,x-2 的最小公倍數。

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 x-2 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 x-3 乘上 3 時使用乘法分配律。

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

合併 2x 和 3x 以取得 5x。

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

從 -4 減去 9 會得到 -13。

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 3 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

計算 3x-9 乘上 x-2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

從兩邊減去 3x^{2}。

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

新增 15x 至兩側。

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

合併 5x 和 15x 以取得 20x。

$$20x-13-3x^{2}=18$$

從兩邊減去 18。

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

從 -13 減去 18 會得到 -31。

$$20x-31-3x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -3 代入 a，將 20 代入 b，以及將 -31 代入 c。

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

對 20 平方。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4 乘上 -3。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12 乘上 -31。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

將 400 加到 -372。

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

取 28 的平方根。

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

2 乘上 -3。

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}。 將 -20 加到 2\sqrt{7}。

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

-20+2\sqrt{7} 除以 -6。

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}。 從 -20 減去 2\sqrt{7}。

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

-20-2\sqrt{7} 除以 -6。

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 2,3 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-3\right)\left(x-2\right)，這是 x-3,x-2 的最小公倍數。

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 x-2 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 x-3 乘上 3 時使用乘法分配律。

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

合併 2x 和 3x 以取得 5x。

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

從 -4 減去 9 會得到 -13。

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

計算 3 乘上 x-3 時使用乘法分配律。

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

計算 3x-9 乘上 x-2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

從兩邊減去 3x^{2}。

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

新增 15x 至兩側。

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

合併 5x 和 15x 以取得 20x。

$$20x-13-3x^{2}=18$$

新增 13 至兩側。

$$20x-3x^{2}=18+13$$

將 18 與 13 相加可以得到 31。

$$20x-3x^{2}=31$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-3x^{2}+20x=31$$

將兩邊同時除以 -3。

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

除以 -3 可以取消乘以 -3 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

20 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

31 除以 -3。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

將 -\frac{20}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{10}{3}。接著，將 -\frac{10}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

-\frac{10}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

將 -\frac{31}{3} 與 \frac{100}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

因數分解 x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

化簡。

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

將 \frac{10}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$