解決left(2x+2right)^2/9+16-4x^2/5=1 |Microsoft數學求解器

$$\frac{ { \left(2x+2 \right) }^{ 2 } }{ 9 } + \frac{ 16-4 { x }^{ 2 } }{ 5 } = 1$$

解 x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

使用依分組因數分解的步驟

對方程式兩邊同時乘上 45，這是 9,5 的最小公倍數。

$$5\left(2x+2\right)^{2}+9\left(16-4x^{2}\right)=45$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2x+2\right)^{2}。

$$5\left(4x^{2}+8x+4\right)+9\left(16-4x^{2}\right)=45$$

計算 5 乘上 4x^{2}+8x+4 時使用乘法分配律。

$$20x^{2}+40x+20+9\left(16-4x^{2}\right)=45$$

計算 9 乘上 16-4x^{2} 時使用乘法分配律。

$$20x^{2}+40x+20+144-36x^{2}=45$$

將 20 與 144 相加可以得到 164。

$$20x^{2}+40x+164-36x^{2}=45$$

合併 20x^{2} 和 -36x^{2} 以取得 -16x^{2}。

$$-16x^{2}+40x+164=45$$

從兩邊減去 45。

$$-16x^{2}+40x+164-45=0$$

從 164 減去 45 會得到 119。

$$-16x^{2}+40x+119=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -16x^{2}+ax+bx+119。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=40 ab=-16\times 119=-1904$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -1904 的所有此類整數組合。

$$-1,1904 -2,952 -4,476 -7,272 -8,238 -14,136 -16,119 -17,112 -28,68 -34,56$$

計算每個組合的總和。

$$-1+1904=1903 -2+952=950 -4+476=472 -7+272=265 -8+238=230 -14+136=122 -16+119=103 -17+112=95 -28+68=40 -34+56=22$$

該解的總和為 40。

$$a=68 b=-28$$

將 -16x^{2}+40x+119 重寫為 \left(-16x^{2}+68x\right)+\left(-28x+119\right)。

$$\left(-16x^{2}+68x\right)+\left(-28x+119\right)$$

在第一個組因式分解是 -4x，且第二個組是 -7。

$$-4x\left(4x-17\right)-7\left(4x-17\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 4x-17。

$$\left(4x-17\right)\left(-4x-7\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 4x-17=0 並 -4x-7=0。

$$x=\frac{17}{4} x=-\frac{7}{4}$$

使用二次方程式公式的步驟

對方程式兩邊同時乘上 45，這是 9,5 的最小公倍數。

$$5\left(2x+2\right)^{2}+9\left(16-4x^{2}\right)=45$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2x+2\right)^{2}。

$$5\left(4x^{2}+8x+4\right)+9\left(16-4x^{2}\right)=45$$

計算 5 乘上 4x^{2}+8x+4 時使用乘法分配律。

$$20x^{2}+40x+20+9\left(16-4x^{2}\right)=45$$

計算 9 乘上 16-4x^{2} 時使用乘法分配律。

$$20x^{2}+40x+20+144-36x^{2}=45$$

將 20 與 144 相加可以得到 164。

$$20x^{2}+40x+164-36x^{2}=45$$

合併 20x^{2} 和 -36x^{2} 以取得 -16x^{2}。

$$-16x^{2}+40x+164=45$$

從兩邊減去 45。

$$-16x^{2}+40x+164-45=0$$

從 164 減去 45 會得到 119。

$$-16x^{2}+40x+119=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -16 代入 a，將 40 代入 b，以及將 119 代入 c。

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-16\right)\times 119}}{2\left(-16\right)}$$

對 40 平方。

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-16\right)\times 119}}{2\left(-16\right)}$$

-4 乘上 -16。

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+64\times 119}}{2\left(-16\right)}$$

64 乘上 119。

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+7616}}{2\left(-16\right)}$$

將 1600 加到 7616。

$$x=\frac{-40±\sqrt{9216}}{2\left(-16\right)}$$

取 9216 的平方根。

$$x=\frac{-40±96}{2\left(-16\right)}$$

2 乘上 -16。

$$x=\frac{-40±96}{-32}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-40±96}{-32}。 將 -40 加到 96。

$$x=\frac{56}{-32}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{56}{-32} 約分至最低項。

$$x=-\frac{7}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-40±96}{-32}。 從 -40 減去 96。

$$x=-\frac{136}{-32}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{-136}{-32} 約分至最低項。

$$x=\frac{17}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$x=-\frac{7}{4} x=\frac{17}{4}$$

配方法的步驟

對方程式兩邊同時乘上 45，這是 9,5 的最小公倍數。

$$5\left(2x+2\right)^{2}+9\left(16-4x^{2}\right)=45$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(2x+2\right)^{2}。

$$5\left(4x^{2}+8x+4\right)+9\left(16-4x^{2}\right)=45$$

計算 5 乘上 4x^{2}+8x+4 時使用乘法分配律。

$$20x^{2}+40x+20+9\left(16-4x^{2}\right)=45$$

計算 9 乘上 16-4x^{2} 時使用乘法分配律。

$$20x^{2}+40x+20+144-36x^{2}=45$$

將 20 與 144 相加可以得到 164。

$$20x^{2}+40x+164-36x^{2}=45$$

合併 20x^{2} 和 -36x^{2} 以取得 -16x^{2}。

$$-16x^{2}+40x+164=45$$

從兩邊減去 164。

$$-16x^{2}+40x=45-164$$

從 45 減去 164 會得到 -119。

$$-16x^{2}+40x=-119$$

將兩邊同時除以 -16。

$$\frac{-16x^{2}+40x}{-16}=-\frac{119}{-16}$$

除以 -16 可以取消乘以 -16 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{40}{-16}x=-\frac{119}{-16}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{40}{-16} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{119}{-16}$$

-119 除以 -16。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{119}{16}$$

將 -\frac{5}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{4}。接著，將 -\frac{5}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{119}{16}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{119+25}{16}$$

將 \frac{119}{16} 與 \frac{25}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=9$$

因數分解 x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=9$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{4}=3 x-\frac{5}{4}=-3$$

將 \frac{5}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{17}{4} x=-\frac{7}{4}$$