解決frac{sqrt{6}+sqrt{4}}{sqrt{6}-sqrt{4}}+frac{sqrt{6}-sqrt{4}}{sqrt{6}+sqrt{4}} |Microsoft數學求解器

$$\frac{ \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 4 } }{ \sqrt{ 6 } - \sqrt{ 4 } } + \frac{ \sqrt{ 6 } - \sqrt{ 4 } }{ \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 4 } }$$

評估

$$10$$

解題步驟

計算 4 的平方根，並得到 2。

$$\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-\sqrt{4}}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

計算 4 的平方根，並得到 2。

$$\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{6}+2，來有理化 \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} 的分母。

$$\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

請考慮 \left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-2^{2}}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

對 \sqrt{6} 平方。 對 2 平方。

$$\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}{6-4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

從 6 減去 4 會得到 2。

$$\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

將 \sqrt{6}+2 乘上 \sqrt{6}+2 得到 \left(\sqrt{6}+2\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{6}+2\right)^{2}。

$$\frac{\left(\sqrt{6}\right)^{2}+4\sqrt{6}+4}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

\sqrt{6} 的平方是 6。

$$\frac{6+4\sqrt{6}+4}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

將 6 與 4 相加可以得到 10。

$$\frac{10+4\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

將 10+4\sqrt{6} 的每一項除以 2 以得到 5+2\sqrt{6}。

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

計算 4 的平方根，並得到 2。

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

計算 4 的平方根，並得到 2。

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$$

將分子和分母同時乘以 \sqrt{6}-2，來有理化 \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} 的分母。

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}-2\right)}{\left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}-2\right)}$$

請考慮 \left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}-2\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}-2\right)}{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-2^{2}}$$

對 \sqrt{6} 平方。 對 2 平方。

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}-2\right)}{6-4}$$

從 6 減去 4 會得到 2。

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}-2\right)}{2}$$

將 \sqrt{6}-2 乘上 \sqrt{6}-2 得到 \left(\sqrt{6}-2\right)^{2}。

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}-2\right)^{2}}{2}$$

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\sqrt{6}-2\right)^{2}。

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-4\sqrt{6}+4}{2}$$

\sqrt{6} 的平方是 6。

$$5+2\sqrt{6}+\frac{6-4\sqrt{6}+4}{2}$$

將 6 與 4 相加可以得到 10。

$$5+2\sqrt{6}+\frac{10-4\sqrt{6}}{2}$$

將 10-4\sqrt{6} 的每一項除以 2 以得到 5-2\sqrt{6}。

$$5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}$$

將 5 與 5 相加可以得到 10。

$$10+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}$$

合併 2\sqrt{6} 和 -2\sqrt{6} 以取得 0。

$$10$$

因式分解

$$2\times 5$$