解決x^2-2/x^2+x-2+3x+2/x^2-4=1-x+2/x^2-3x+2 |Microsoft數學求解器

$$\frac { x ^ { 2 } - 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 3 x + 2 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1 - \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 }$$

解 x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=-1$$

使用依分組因數分解的步驟

變數 x 不能等於 -2,1,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)，這是 x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2 的最小公倍數。

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

將 x+2 乘上 x+2 得到 \left(x+2\right)^{2}。

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x-2 乘上 x^{2}-2 時使用乘法分配律。

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x-1 乘上 3x+2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

合併 -2x^{2} 和 3x^{2} 以取得 x^{2}。

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

合併 -2x 和 -x 以取得 -3x。

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

從 4 減去 2 會得到 2。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x-2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x^{2}-3x+2 乘上 x+2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+2\right)^{2}。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

若要尋找 x^{2}+4x+4 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

合併 -x^{2} 和 -x^{2} 以取得 -2x^{2}。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

合併 -4x 和 -4x 以取得 -8x。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

從 4 減去 4 會得到 0。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

從兩邊減去 x^{3}。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

合併 x^{3} 和 -x^{3} 以取得 0。

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

新增 2x^{2} 至兩側。

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

合併 x^{2} 和 2x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

新增 8x 至兩側。

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

合併 -3x 和 8x 以取得 5x。

$$5x+3x^{2}+2=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$3x^{2}+5x+2=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3x^{2}+ax+bx+2。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是正數，a 和 b 都是正數。 列出乘積為 6 的所有此類整數組合。

$$1,6 2,3$$

計算每個組合的總和。

$$1+6=7 2+3=5$$

該解的總和為 5。

$$a=2 b=3$$

將 3x^{2}+5x+2 重寫為 \left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)。

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

因式分解 3x^{2}+2x 中的 x。

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

使用分配律來因式分解常用項 3x+2。

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 3x+2=0 並 x+1=0。

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -2,1,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)，這是 x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2 的最小公倍數。

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

將 x+2 乘上 x+2 得到 \left(x+2\right)^{2}。

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x-2 乘上 x^{2}-2 時使用乘法分配律。

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x-1 乘上 3x+2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

合併 -2x^{2} 和 3x^{2} 以取得 x^{2}。

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

合併 -2x 和 -x 以取得 -3x。

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

從 4 減去 2 會得到 2。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x-2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x^{2}-3x+2 乘上 x+2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+2\right)^{2}。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

若要尋找 x^{2}+4x+4 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

合併 -x^{2} 和 -x^{2} 以取得 -2x^{2}。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

合併 -4x 和 -4x 以取得 -8x。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

從 4 減去 4 會得到 0。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

從兩邊減去 x^{3}。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

合併 x^{3} 和 -x^{3} 以取得 0。

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

新增 2x^{2} 至兩側。

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

合併 x^{2} 和 2x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

新增 8x 至兩側。

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

合併 -3x 和 8x 以取得 5x。

$$5x+3x^{2}+2=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$3x^{2}+5x+2=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 3 代入 a，將 5 代入 b，以及將 2 代入 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

對 5 平方。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

-4 乘上 3。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

-12 乘上 2。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

將 25 加到 -24。

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

取 1 的平方根。

$$x=\frac{-5±1}{2\times 3}$$

2 乘上 3。

$$x=\frac{-5±1}{6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-5±1}{6}。 將 -5 加到 1。

$$x=-\frac{4}{6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-4}{6} 約分至最低項。

$$x=-\frac{2}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-5±1}{6}。 從 -5 減去 1。

$$x=-\frac{6}{6}$$

-6 除以 6。

$$x=-1$$

現已成功解出方程式。

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -2,1,2 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)，這是 x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2 的最小公倍數。

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

將 x+2 乘上 x+2 得到 \left(x+2\right)^{2}。

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x-2 乘上 x^{2}-2 時使用乘法分配律。

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x-1 乘上 3x+2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

合併 -2x^{2} 和 3x^{2} 以取得 x^{2}。

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

合併 -2x 和 -x 以取得 -3x。

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

從 4 減去 2 會得到 2。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x-2 乘上 x-1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

計算 x^{2}-3x+2 乘上 x+2 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(x+2\right)^{2}。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

若要尋找 x^{2}+4x+4 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

合併 -x^{2} 和 -x^{2} 以取得 -2x^{2}。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

合併 -4x 和 -4x 以取得 -8x。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

從 4 減去 4 會得到 0。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

從兩邊減去 x^{3}。

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

合併 x^{3} 和 -x^{3} 以取得 0。

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

新增 2x^{2} 至兩側。

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

合併 x^{2} 和 2x^{2} 以取得 3x^{2}。

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

新增 8x 至兩側。

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

合併 -3x 和 8x 以取得 5x。

$$5x+3x^{2}+2=0$$

從兩邊減去 2。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$5x+3x^{2}=-2$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$3x^{2}+5x=-2$$

將兩邊同時除以 3。

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

除以 3 可以取消乘以 3 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

將 \frac{5}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{5}{6}。接著，將 \frac{5}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

\frac{5}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

將 -\frac{2}{3} 與 \frac{25}{36} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

因數分解 x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

化簡。

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{6}。

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$