解決f/11=g/33,text{siendo}f+g=40 |Microsoft數學求解器

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } , \text { siendo } f + g = 40$$

解 f、g

$$f=10$$

$$g=30$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 33，這是 11,33 的最小公倍數。

$$3f=g$$

將兩邊同時除以 3。

$$f=\frac{1}{3}g$$

在另一個方程式 f+g=40 中以 \frac{g}{3} 代入 f在方程式。

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

將 \frac{g}{3} 加到 g。

$$\frac{4}{3}g=40$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{4}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$g=30$$

在 f=\frac{1}{3}g 中以 30 代入 g。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 f。

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

\frac{1}{3} 乘上 30。

$$f=10$$

現已成功解出系統。

$$f=10,g=30$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 33，這是 11,33 的最小公倍數。

$$3f=g$$

從兩邊減去 g。

$$3f-g=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3f-g=0,f+g=40$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 f 和 g。

$$f=10,g=30$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 33，這是 11,33 的最小公倍數。

$$3f=g$$

從兩邊減去 g。

$$3f-g=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3f-g=0,f+g=40$$

讓 3f 和 f 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

化簡。

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3f-g=0 減去 3f+3g=120。

$$3f-3f-g-3g=-120$$

將 3f 加到 -3f。 3f 和 -3f 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-g-3g=-120$$

將 -g 加到 -3g。

$$-4g=-120$$

將兩邊同時除以 -4。

$$g=30$$

在 f+g=40 中以 30 代入 g。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 f。

$$f+30=40$$

從方程式兩邊減去 30。

$$f=10$$

現已成功解出系統。

$$f=10,g=30$$