解決75/x=75/x+15+1/4 |Microsoft數學求解器

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

解 x

$$x=-75$$

$$x=60$$

使用依分組因數分解的步驟

變數 x 不能等於 -15,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 4x\left(x+15\right)，這是 x,x+15,4 的最小公倍數。

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

計算 4x+60 乘上 75 時使用乘法分配律。

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

將 4 乘上 75 得到 300。

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

將 4 乘上 \frac{1}{4} 得到 1。

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

計算 x 乘上 x+15 時使用乘法分配律。

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

合併 300x 和 15x 以取得 315x。

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

從兩邊減去 315x。

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

合併 300x 和 -315x 以取得 -15x。

$$-15x+4500=x^{2}$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -x^{2}+ax+bx+4500。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -4500 的所有此類整數組合。

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

計算每個組合的總和。

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

該解的總和為 -15。

$$a=60 b=-75$$

將 -x^{2}-15x+4500 重寫為 \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)。

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

在第一個組因式分解是 x，且第二個組是 75。

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 -x+60。

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 -x+60=0 並 x+75=0。

$$x=60 x=-75$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 x 不能等於 -15,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 4x\left(x+15\right)，這是 x,x+15,4 的最小公倍數。

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

計算 4x+60 乘上 75 時使用乘法分配律。

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

將 4 乘上 75 得到 300。

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

將 4 乘上 \frac{1}{4} 得到 1。

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

計算 x 乘上 x+15 時使用乘法分配律。

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

合併 300x 和 15x 以取得 315x。

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

從兩邊減去 315x。

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

合併 300x 和 -315x 以取得 -15x。

$$-15x+4500=x^{2}$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 -15 代入 b，以及將 4500 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

對 -15 平方。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 4500。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

將 225 加到 18000。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

取 18225 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

-15 的相反數是 15。

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{15±135}{-2}。 將 15 加到 135。

$$x=\frac{150}{-2}$$

150 除以 -2。

$$x=-75$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{15±135}{-2}。 從 15 減去 135。

$$x=-\frac{120}{-2}$$

-120 除以 -2。

$$x=60$$

現已成功解出方程式。

$$x=-75 x=60$$

配方法的步驟

變數 x 不能等於 -15,0 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 4x\left(x+15\right)，這是 x,x+15,4 的最小公倍數。

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

計算 4x+60 乘上 75 時使用乘法分配律。

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

將 4 乘上 75 得到 300。

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

將 4 乘上 \frac{1}{4} 得到 1。

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

計算 x 乘上 x+15 時使用乘法分配律。

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

合併 300x 和 15x 以取得 315x。

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

從兩邊減去 315x。

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

合併 300x 和 -315x 以取得 -15x。

$$-15x+4500=x^{2}$$

從兩邊減去 x^{2}。

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

從兩邊減去 4500。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-15x-x^{2}=-4500$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-x^{2}-15x=-4500$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

-15 除以 -1。

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

-4500 除以 -1。

$$x^{2}+15x=4500$$

將 15 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{15}{2}。接著，將 \frac{15}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

\frac{15}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

將 4500 加到 \frac{225}{4}。

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

因數分解 x^{2}+15x+\frac{225}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

化簡。

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{15}{2}。

$$x=60 x=-75$$