解決frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}} |Microsoft數學求解器

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

評估

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4.936685734$$

解題步驟

因數分解 27=3^{2}\times 3。 將產品 \sqrt{3^{2}\times 3} 的平方根重寫為平方根 \sqrt{3^{2}}\sqrt{3} 的乘積。 取 3^{2} 的平方根。

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

將分子和分母同時乘以 4+\sqrt{3}，來有理化 \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} 的分母。

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

請考慮 \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)。 乘法可以使用下列規則轉換成平方差: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}。

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

對 4 平方。 對 \sqrt{3} 平方。

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

從 16 減去 3 會得到 13。

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

透過將 6+3\sqrt{3} 的每個項乘以 4+\sqrt{3} 的每個項以套用乘法分配律。

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

合併 6\sqrt{3} 和 12\sqrt{3} 以取得 18\sqrt{3}。

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

\sqrt{3} 的平方是 3。

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

將 3 乘上 3 得到 9。

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

將 24 與 9 相加可以得到 33。

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$